Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Dowód metryki

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 sloneczko

sloneczko

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 46 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.02.2012 - 13:45

Proszę o pomoc w następującym zadaniu:
Niech l^1 oznacza przestrzeń ciągów rzeczywistych x_n\subset R że  \sum_{n=1}^{+\infty}|x_n|<+\infty. Udowodnić, że d(x_n,y_n)= \sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_n|^2 jest metryką.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5951 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.02.2012 - 09:30

oczywiście wartości są nieujemne wiec przechodzimy do sprawdzania warunków na metrykę

1.
d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b
d(x_n,y_n)=0\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_n|^2=0 \Leftrightarrow |x_n-y_n|^2=0 \Leftrightarrow x_y-y_n=0 \Leftrightarrow x_n=y_n
zatem pierwszy warunek spełniony
2.
d(a, b) = d(b, a)
d(x_n,y_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_n|^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|y_n-x_n|^2=d(y_n,x_n)
czyli drugi warunek jest spełniony
3.
d(a, b) \leq d(a, c) + d(c, b)
ustalny ciągi x_n,y_n,z_y\in l^1
d(x_n,y_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_n|^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-z_n+z_n-y_n|^2\leq \sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-z_n|^2+|y_n+z_n|^2=\\<br />\\\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_2|+\sum_{n=1}^{+\infty}|y_n-z_n|^2=d(x_n,z_n)+d(z_n,y_n)
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2012 - 16:21

Myślę, że warto byłoby dokładniej objaśnić nierówność z której korzystasz, bo z samej nierówności trójkąta mamy tylko

|x-z +z -y|^2 \ \le \ (|x-z|+|z-y|)^2

no a |x-z|^2 + |z-y|^2 \ \le \ (|x-z|+|z-y|)^2, więc to nie jest takie do końca trywialne :)
  • 0