Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

określoność i przekształcenie Lagrange'a

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Giewont

Giewont

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.01.2012 - 19:28

Zadanie brzmi tak:

Stosując przekształcenie Lagrange'a sklasyfikuj macierz pod względem określoności.

A = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 0 \\  -4 & 8 & 0 \\  -0 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Bardzo proszę o pomoc, najlepiej z wyjaśnieniem krok po kroku co należy zrobić.
Pozdrawiam.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.11.2018 - 23:57

A=\left[\begin{array}{ccc}2&-4&0\\-4&8&0\\0&0&-3\end{array}\right]
X^TAX=\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right]\cd\left[\begin{array}{ccc}2&-4&0\\-4&8&0\\0&0&-3\end{array}\right]\cd\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=
=\left[\begin{array}{ccc}2x-4y&-4x+8y&-3z\end{array}\right]\cd\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=
=(2x-4y)x+(-4x+8y)y+(-3z)z=
=2x^2-4xy-4xy+8y^2-3z^2
gdyby ostatnie było zawsze  >0  to macierz byłaby dodatnio określona (ale tak nie jest)
znajdźmy jeszcze wartości własne macierzy
\det \left[\begin{array}{ccc}2-\lambda&-4&0\\-4&8-\lambda&0\\0&0&-3-\lambda\end{array}\right]=
=(2-\lambda)(8-\lambda)(-3-\lambda)+(-4)\cd0\cd0+0\cd(-4)\cd0-\(0\cd(8-\lambda)+(-4)\cd(-4)\cd(-3-\lambda)+(2-\lambda\cd0\cd0\)=
=-\lambda^3+7\lambda^2-2\lambda-96
-\lambda^3+7\lambda^2-2\lambda-96=0 \quad\to\quad \lambda=-3
macierz nie jest określona

  • 0