Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Trójkąt równoramienny

LICEUM trójkąt równoramienny

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.01.2012 - 14:54

Na okręgu o promieniu r opisano trójkąt równoramienny. Dla jakiej długości podstawy ramiona tego trójkąta są najkrótsze?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.01.2012 - 21:06

Na okręgu o promieniu r opisano trójkąt równoramienny. Dla jakiej długości podstawy, ramiona tego trójkąta są najkrótsze ?

... otóż, litera L , to poziom Liceum ?, czy na pewno ? , no to może ... :( np. tak :
niech  \bl x, y, H - długości podstawy, ramienia , wysokości trójkąta odpowiednio , gdzie  \re x_o=? takie, że
\re y=f(x_o )=min.=? , to z warunków zadania :
 \{H^2=y^2-\(\frac{x}{2}\)^2\\ {\Large \frac{\frac{x}{2}}{r}=\frac{H}{y-\frac{x}{2}}  \ \bl \Rightarrow\   \{H=\frac{1}{2}\sqrt{4y^2-x^2}\\ \frac{x}{2r}=\frac{\sqrt{4y^2-x^2}}{2y-x}  \ \bl \Rightarrow\  2xy-x^2=2r\sqrt{4y^2-x^2}\ i\ x<2y\ /^2  obustronnie  \ \bl \Rightarrow\
 \bl \Rightarrow\  4x^2y^2-4x^3y+x^4=16r^2y^2-4r^2x^2  \ \bl \Leftrightarrow\  \fbox{16r^2y^2+4x^3y-x^4=0} \ i\  \bl  \Delta _y= 16x^6+4\cdot 16r^2\cdot x^4=
=16x^4\(x^2+4r^2) \ i\  \sqrt{\Delta}= 4x^2\sqrt{x^2+4r^2} \ i\ y>0  \ \bl \Rightarrow\  y=\frac{-4x^3+4x^2\sqrt{x^2+4r^2\ }}{32r^2}\ , czyli
 \re y=f(x)=\frac{x^2}{8r^2}\cdot \(\sqrt{x^2+4r^2}-x\) i tu przydałyby się pochodne, ale L to poziom Liceum , ale nie wiem, więc . ... :)
  • 0

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.01.2012 - 21:46

 \re y=f(x)=\frac{x^2}{8r^2}\cdot \(\sqrt{x^2+4r^2}-4x\) i tu przydałyby się pochodne, ale L to poziom Liceum , ale nie wiem, więc . ... :)

Rzeczywiście jest to chyba problem wymagający zastosowania pochodnej, ale póki co...

...pomyliłeś się w końcówce, chyba miałeś zamiar napisać

 \bl y=f(x)=\frac{x^2}{8r^2}\cdot \(\sqrt{x^2+4r^2}-x\) \ \ \ \ ;)


bo inaczej wyjdzie y<0
  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.01.2012 - 22:27

... no widzisz ... :) znowu , ale dobrze, że jest ktoś taki jak Ty; dzięki i już poprawiam .
  • 0

#5 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2012 - 13:01

Dobrze, że nie traciłeś czasu na liczenie pochodnej, bo coś jest nie tak


przyjmijmy \re \ x=4r

y=f(4r)=\frac{(4r)^2}{8r^2}\cdot \(\sqrt{(4r)^2+4r^2}-4r\)=\frac{16r^2}{8r^2}\cdot \(\sqrt{16r^2+4r^2}-4r\)=2(2sqrt5-4)r=4(sqrt5-2)r

4(sqrt5-2)<\ 4(2,3-2)=1,2\bl\ \ \Rightarrow\ \re y<1,2r\ \ \ \ :bigshock:


Dziś już nie dam rady, ale może jutro spróbuję sama do tego podejść...
  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2012 - 14:46

Pszepraszam, już się poprawiłam:)
  • 0

#7 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2012 - 21:15

Doszłam do takiej postaci y=f(x)\ , która dla r=1\ wygląda

\cancel{\text{http://imageshack.us/photo/my-images/17/trojkatnaokregu.jpg/}}

 

 

Trojkat_na_okregu.jpg


Użytkownik bb314 edytował ten post 26.02.2016 - 17:56

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#8 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.01.2012 - 17:21

Myślałam że wyjdzie trójkąt równoboczny, ale z tego wykresu wygląda, że y jest mniejsze od x
  • 0

#9 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.01.2012 - 19:35

\bl r\ - promień okręgu
y\ - ramię trójkąta równoramiennego
\re x\ - podstawa trójkąta równoramiennego, dla której y\ jest najmniejsze =?


\bl x>2r

wzór Herona
S_\Delta =\frac{1}{4}\cdot sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
podstawmy
a=x\ \ \ b=y\ \ \ c=y
S_\Delta =\frac{1}{4}\cdot sqrt{(x+2y)(-x+2y)\cdot x\cdot x}=\bl \frac{1}{4}\cdot sqrt{(4y^2-x^2)\cdot x^2}

z drugiej strony
S_\Delta=\frac{1}{2}(a+b+c)\cdot r\gr\ \ \Rightarrow\ S_\Delta=\bl\frac{1}{2}(2y+x)\cdot r

 \frac{1}{4}\cdot sqrt{(4y^2-x^2)\cdot x^2}=\frac{1}{2}(2y+x)\cdot r\ \ \ /\cdot 4\ /^{\ 2}\gr\ \ \Rightarrow\ (4y^2-x^2)\cdot x^2=4(2y+x)^2\cdot r^2\gr\ \ \Rightarrow\
\gr\ \ \Rightarrow\ 4y^2x^2-x^4=16y^2r^2+16yxr^2+4x^2r^2\gr\ \ \Rightarrow\ (16r^2-4x^2)\cdot y^2+16xr^2\cdot y+x^4+4x^2r^2=0
\Delta =(16xr^2)^2-4(16r^2-4x^2)(x^4+4x^2r^2)=16x^6=(4x^3)^2
\bl y\ =\frac{-16xr^2-4x^3}{2(16r^2-4x^2)}=\ \bl \frac{x(x^2+4r^2)}{2(x^2-4r^2)\gr\ \ \Rightarrow\ \re\fbox{\ x=2sqrt{2+sqrt5}\cdot r\ }\ \ \ \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.02.2016 - 10:54

Obliczę  y_{min}

 

y_{min}=\fr{2\sq{2+\sq5}\cd r\((2\sq{2+\sq5}\cd r)^2+4r^2\)}{2\((2\sq{2+\sq5}\cd r)^2-4r^2\)}=\fr{\sq{2+\sq5}\cd r\(4(2+\sq5)\cd r^2+4r^2\)}{4(2+\sq5)\cd r^2-4r^2}=

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\fr{\sq{2+\sq5}\cd r\cd4r^2(3+\sq5)}{4r^2(1+\sq5)}=\fr{\sq{2+\sq5}(\sq5+3)\cd r}{\sq5+1}\gr\ \Rightarrow\ \bl y_{min}=\fr{\sq{2+\sq5}(\sq5+1)\cd r}{2}

 

połowa podstawy  \fr12x_{min}=\fr12\cd 2\sq{2+\sq5}\cd r\gr\ \Rightarrow\ \bl \fr12 x_{min}=\sq{2+\sq5}\cd r

 

k=\fr{y_{min}}{\fr12x_{min}}=\fr{\fr{\sq{2+\sq5}(\sq5+1)\cd r}{2}}{\sq{2+\sq5}\cd r}\gr\ \Rightarrow\ \re k=\fr{\sq5+1}{2}=\varphi      jest to złota proporcja

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..