Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 1/cos(x)

całka 1/cos(x)

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mike_M2

Mike_M2

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.12.2011 - 22:29

Witam!

Nie mogę sobie poradzić z rozwiązaniem całki. Proszę o pomoc.

 \int \frac{1}{cos^3 x}dx


Z góry dzięki, Mike_M2.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.07.2015 - 09:37

  • 1

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.07.2015 - 23:03

*
Najwyższa ocena

sec(x)=\frac{1}{cos(x)}

 

\int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx

 

więc

 

\int \sec ^3\left(x\right)dx=\frac{\sec ^2\left(x\right)\sin \left(x\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(x\right)dx

 

\int \sec \left(x\right)dx=\int\frac{1}{cos(x)}=\ln \left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}+\tan \left(x\right)\right)+C

 

Reasumując

 

=\frac{\sec ^2\left(x\right)\sin \left(x\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}+\tan \left(x\right)\right)+C=\frac{\sin \left(x\right)}{2 cos^2(x)}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}+\tan \left(x\right)\right)+C=\frac{tg(x)}{2cos(x)}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}+\tan \left(x\right)\right)+C

 

Ewentualnie pozostaje policzenie dokładnie

 

\int\frac{1}{cos(x)}=\ln \left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}+\tan \left(x\right)\right)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.07.2015 - 09:39

  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.07.2015 - 23:49

*
Najwyższa ocena

\int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}}}= \int{ \frac{\cos{x}}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x } =\int{ \frac{\cos{x}}{1-\sin^{2}{x}} \mbox{d}x }=\frac{1}{2}\int{ \frac{\cos{x}\left( 1+\sin{x}+1-\sin{x}\right) }{\left( 1-\sin{x}\right)\left( 1+\sin{x}\right) } \mbox{d}x } =\frac{1}{2}\left( \int{ \frac{\cos{x}}{1-\sin{x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{\cos{x}}{1+\sin{x}} \mbox{d}x } \right)\\ = \frac{1}{2}\ln{\left| \frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}} \right| }+C= \ln{\left| \frac{1+\sin{x}}{\cos{x}} \right| } +C

 

albo

 

\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sin{\left( \frac{\pi}{2}-x \right) }} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2\sin{\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) }\cos{\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}} } =\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2\tan{\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right)}\cos^{2}{\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) }} }\\ t=\tan{\left( \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} \right) } \\\mbox{d}t=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{\left( \frac{\pi}{2}- \frac{x}{2} \right) }} \\-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t} }=-\ln{\left| t\right| }+C \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}} }=-\ln{\left| \tan{\left( \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} \right) }\right| }+C

 

albo

 

\int \frac{dx}{cos(x)}=\int \frac{1}{cos(x)}\cdot 1=\int \frac{dx}{cos(x)}\cdot \frac{ \frac{1}{cos(x)}+tg(x)}{ \frac{1}{cos(x)}+tg(x)}=\int \frac{ \frac{1}{cos^2(x)}+\frac{1}{cos(x)}\cdot tg(x)}{\frac{1}{cos(x)}+tg(x)}dx

 

t=\frac{1}{cos(x)}+tg(x)    więc   dt=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}+\frac{1}{cos^2(x)}dx            czyli               dt=tg(x)\cdot \frac{1}{cos(x)}+\frac{1}{cos^2(x)}dx

 

Mamy więc

 

\int \frac{dx}{cos(x)}=\int\frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|\frac{1}{cos(x)}+tg(x)|+C

 

 

można jeszcze stosując podstawienie trygonometryczne z tangensem kąta połówkowego. :)

 

 


  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.07.2015 - 21:02

*
Najwyższa ocena

\int\frac{1}{cos(x)}

Podstawienie trygonometryczne (tangens połowy kąta)

t=tan\(\frac{x}{2}\)

cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

dx=\frac{2}{1+t^2}dt

\int\frac{1}{cos(x)}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt =2\int\frac{dt}{1-t^2}=2\int\frac{dt}{(1-t)(1+t)}

Rozkłada na ułamki proste

\int\frac{dt}{(1-t)(1+t)}=\int\frac{A}{(1-t)}+\frac{B}{(1+t)}dt Wychodzi A=\frac{1}{2} B=\frac{1}{2}

2\(\frac{1}{2}\cdot \int\frac{dt}{(1-t)}+\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{(1+t)}\)=-ln|1-t|+ln|1+t|+C=ln|1+t|-ln|1-t|+C=ln\|\frac{1+t}{1-t}\|+C=ln\|\frac{1+tan\(\frac{x}{2}\)}{1-tan\(\frac{x}{2}\)}\|+C

Dla

\int \frac{dx}{cos^3(x)} można tak samo

\int \frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=2\int\frac{1+2t^2+t^4}{1-3t^2+3t^4-t^6}dt

Rozkład na ułamki proste

\frac{1+2t^2+t^4}{1-3t^2+3t^4-t^6}=\frac{\frac{1}{4}}{1+t}-\frac{\frac{1}{4}}{(1+t)^2}+\frac{\frac{1}{2}}{(1+t)^3}-\frac{\frac{1}{4}}{t-1}-\frac{\frac{1}{4}}{(t-1)^2}-\frac{\frac{1}{2}}{(1-t)^3}
 

 

popatrz na

http://matma4u.pl/to...niewymiernej-2/


  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.07.2015 - 12:06

*
Najwyższa ocena

Dwa razy dx ?

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{3}{x}}}=\int{\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{3}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos{x}}}+\int{\sin{x}\cdot\frac{sin{x}}{\cos^{3}{x}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos{x}}}+\frac{1}{2}\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}-\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}+\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}+\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>t=\sin{x}\\</p>\\<p>\mbox{d}t=\cos{x}\mbox{d}x\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{1-t^2}}=\int{\frac{A}{1-t}\mbox{d}t}+\int{\frac{B}{1+t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>A\left(1+t\right)+B\left(1-t\right)=1\\</p>\\<p>\begin{cases}A+B=1\\A-B=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}2A=1\\B=A\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}A=\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2}\end{cases}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{1-t^2}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{\left(-1\right)}{1-t}\mbox{d}t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+t}{1-t}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\left(1+sin{x}\right)^2}{1-\sin^2{x}}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\left(1+sin{x}\right)^2}{\cos^2{x}}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}\mbox{d}x}=\ln{\left|\frac{1+sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{3}{x}}}=\frac{1}{2}\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C</p>\\<p>

 

 

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{3}{x}}}=\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\sin^3{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}}}=\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\sin^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\tan^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{6}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\tan^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{4}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{2}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p></p>\\<p>


  • 5

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.07.2015 - 09:42

\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{3}{x}}}=\\</p>\\<p></p>\\<p>\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\sin^3{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}}}=\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\sin^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\tan^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{6}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{8\tan^{3}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{4}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\cos^{2}{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}}}\\</p>\\<p>\\</p>\\<p></p>\\<p>\\

 

 

pierwszy sposób ok - wynik jak w moim 2 poście ale co z tym?


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 01:46

Inny post w tej tematyce

 

http://matma4u.pl/to...tawienie-1cos2/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 01:46

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską