Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
* * * * * 1 głosy

Zależności pomiędzy trójkątem równobocznym a okręgiem w niego wpisanym i na nim opisanym


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 09.11.2011 - 19:16

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym

Dołączona grafika


Na początek promień. Możemy go wyznaczyć zauważając, że promienie dzielą nam trójkąt na trzy takie same trójkąty równoramienne. Pole każdego z nich możemy policzyć ze wzoru:
\bl{\frac{1}{2}absin \alpha=\frac{1}{2}aRsin30^o=\frac{1}{4}aR}

Możemy wykorzystać też wzór na pole trójkąta równobocznego \bl{\frac{1}{3}* \frac{a^2 sqrt{3}}{4}}

\bl{\frac{1}{4}aR=\frac{a^2 sqrt{3}}{12}

\re{R=\frac{a sqrt{3}}{3}}=\frac{2}{3}*\frac{a sqrt{3}}{2}=\frac{2}{3}h bo \bl{h=\frac{a sqrt{3}}{2}}

Z tego możemy w łatwy sposób uzyskać: \re{h=\frac{3}{2}R} oraz \re{a=R sqrt{3}}

Pole trójkąta wpisanego w okrąg wynosi:

\bl \frac{a^2 sqrt{3}}{4}=\frac{(R sqrt{3})^2 sqrt{3}}{4}

\re{P=\frac{3 sqrt{3} R^2}{4}}

A jego obwód:

\bl{Obw=3a}

\re{Obw=3R sqrt{3}}


Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny


Dołączona grafika

Ponownie zaczniemy od promienia. Gdy narysujemy wszystkie wysokości możemy wyznaczyć trzy trójkąty równoramienne. Część która jest promieniem to wysokość a pozostała część tworzy jedno z ramion dwóch innych trójkątów. Pole takiego trójkąta to:

\bl{\frac{1}{3}* \frac{a^2 sqrt{3}}{4}}

lub ze wzoru \bl{\frac{ah}{2}=\frac{ar}{2}}

\bl{\frac{ar}{2}=\frac{a^2 sqrt{3}}{12}

\re{r=\frac{a sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}h bo \bl{h=\frac{a sqrt{3}}{2}}

Z tego otrzymujemy \re{h=3r} oraz \re{a=2r sqrt{3}}

Pole tego trójkąta to:

\bl {\frac{a^2 sqrt{3}}{4}=\frac{(2r sqrt{3})^2 sqrt{3}}{4}}

\re{P=3 sqrt{3}r^2}

Obwód:

\bl{Obw=3a}

\re{ Obw=6r sqrt{3}}
  • 2

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55