Wykaz ze istenieje nieskonczona liczba liczb pierwszych
Rozpoczęty przez kasia.papis, Sep 26 2011 19:49
STUDIA
6 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 26.09.2011 - 19:49
Wykaz ze istenieje nieskonczona liczba liczb pierwszych
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 27.09.2011 - 11:56
Wydaje mi się, że treść jest niepełna...
#3
Napisano 27.09.2011 - 12:01
Wydaje mi się, że treść jest niepełna...
Juz poprawilam
#4
Napisano 27.09.2011 - 13:47
Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Dirichleta:
"Jeśli oraz i , to w ciągu arytmetycznym (a+mk), gdzie k=1, 2, 3,..., istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych."
Tutaj , czyli liczby p są postaci
p=3+4k
i liczby te tworzą ciąg arytmetyczny
, oraz .
Liczby 3 i 4 spełniają więc założenie tego twierdzenia.
"Jeśli oraz i , to w ciągu arytmetycznym (a+mk), gdzie k=1, 2, 3,..., istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych."
Tutaj , czyli liczby p są postaci
p=3+4k
i liczby te tworzą ciąg arytmetyczny
, oraz .
Liczby 3 i 4 spełniają więc założenie tego twierdzenia.
#5
Napisano 27.09.2011 - 15:34
Z tym, że to można pokazać całkiem elementarnie, a dowód twierdzenia Dirichleta zbyt prosty nie jest
#6
Napisano 27.09.2011 - 17:47
A jak mozna pokazac elementarnie?
#7
Napisano 27.09.2011 - 21:58
Ad absurdum, czyli załóżmy, że takich liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele.
Niech - kolejne liczby pierwsze i niech będzie największą liczbą pierwszą taką, że .
Na pewno mamy .
Niech .
Oczywiście .
Jeśli jest liczbą pierwszą, to mamy sprzeczność, wobec tego jest liczbą złożoną i musi mieć jakiś dzielnik pierwszy postaci , w przeciwnym razie samo byłoby postaci , a nie jest.
Oznaczmy największy z takich dzielników przez . No ale żadna z liczb nie dzieli , więc i mamy sprzeczność.
Niech - kolejne liczby pierwsze i niech będzie największą liczbą pierwszą taką, że .
Na pewno mamy .
Niech .
Oczywiście .
Jeśli jest liczbą pierwszą, to mamy sprzeczność, wobec tego jest liczbą złożoną i musi mieć jakiś dzielnik pierwszy postaci , w przeciwnym razie samo byłoby postaci , a nie jest.
Oznaczmy największy z takich dzielników przez . No ale żadna z liczb nie dzieli , więc i mamy sprzeczność.