Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykaz ze istenieje nieskonczona liczba liczb pierwszych

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 kasia.papis

kasia.papis

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 193 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.09.2011 - 19:49

Wykaz ze istenieje nieskonczona liczba liczb pierwszych p=3 (mod)4
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 irena_1

irena_1

    Operator całkujący

  • VIP
  • 487 postów
296
Instruktor I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.09.2011 - 11:56

Wydaje mi się, że treść jest niepełna...
  • 0

#3 kasia.papis

kasia.papis

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 193 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.09.2011 - 12:01

Wydaje mi się, że treść jest niepełna...


Juz poprawilam :)
  • 0

#4 irena_1

irena_1

    Operator całkujący

  • VIP
  • 487 postów
296
Instruktor I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.09.2011 - 13:47

Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Dirichleta:
"Jeśli m\in N oraz a\in Z i NWD(a,\ m)=1, to w ciągu arytmetycznym (a+mk), gdzie k=1, 2, 3,..., istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych."

Tutaj p\equiv3\ (mod4), czyli liczby p są postaci
p=3+4k
i liczby te tworzą ciąg arytmetyczny
4\in N, 3\in Z oraz NWD(3,\ 4)=1.
Liczby 3 i 4 spełniają więc założenie tego twierdzenia.
  • 0

#5 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2011 - 15:34

Z tym, że to można pokazać całkiem elementarnie, a dowód twierdzenia Dirichleta zbyt prosty nie jest :)
  • 0

#6 kasia.papis

kasia.papis

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 193 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.09.2011 - 17:47

A jak mozna pokazac elementarnie?
  • 0

#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2011 - 21:58

Ad absurdum, czyli załóżmy, że takich liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele.

Niech p_1, p_2, \ldots - kolejne liczby pierwsze i niech p_k będzie największą liczbą pierwszą taką, że p_k \equiv 3 \ \ \mbox{(mod 4)}.

Na pewno mamy k > 3.

Niech P=4 \cdot \prod_{i=3}^{k} p_i + 3.

Oczywiście P > p_k.

Jeśli P jest liczbą pierwszą, to mamy sprzeczność, wobec tego P jest liczbą złożoną i musi mieć jakiś dzielnik pierwszy postaci 4m+3, w przeciwnym razie samo P byłoby postaci 4m+1, a nie jest.

Oznaczmy największy z takich dzielników przez q. No ale żadna z liczb p_3, \ldots, p_k nie dzieli P, więc q > p_k i mamy sprzeczność.
  • 0