Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Współrzędne środka ciężkości

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 karolinaa07

karolinaa07

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 72 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.09.2011 - 10:50

Oblicz Współrzędne środka ciężkości bryły ograniczonej powierzchniami \{ y^2 +z^2 -4x=0  \\ x=\sqrt[]{12-z^2-y^2}
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.09.2011 - 14:53

Mamy dane równania paraboloidy i półkuli

Nietrudnu zauważyc, że bryła ograniczona tymi powierzchniami będzie bryłą obrotową, symetryczną względem 0x, więc np, możnaby zrobic przekrój wzdłuż płaszczyzny Oxz.

Wówczas y=0

A stąd:
z^2-4x=0 \ \ x^2+z^2=12

Weźmy sobie dodatnie rozwiązania tych równań względem z:
z=2\sqrt{x} \ \ z=\sqrt{12-x^2}

Pole jakie ograniczają nam powyższe krzywe oraz oś 0x można wyrazic wzorem:

P=\int_{0}^{2}2\sqrt{x}dx+ \int_{2}^{\sqrt{12}}\sqrt{12-x^2}dx

No bo so pktu przecięcia pole ogranicza nam pierwsza krzywa, następnie ta kolejna.

Tak jak mówiłem szukana bryła powstanie przez obrót naszych krzywych dookoła osi x, zatem

V=\pi \int_{0}^{2}(2\sqrt{x})^2dx+ \pi \int_{2}^{\sqrt{12}}(\sqrt{12-x^2})^2dx=\pi \[\int_{0}^{2}4xdx+\int_{2}^{sqrt{12}}(12-x^2)dx\]=\pi \[ \[2x^2\]_{0}^{2}+ \[12x-\frac{x^2}{2}\]_{2}^{sqrt{12}} \]= \\=24\sqrt{3}-20

Teraz wystarczy skorzystac ze wzoru na współrzędne środków cięzkości:

x_0=\frac{1}{V}\int\int\int x dx=\frac{1}{V} \int_{ \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}	}^{ \sqrt{12-z^2-y^2}   }x dx\int_{-2}^{2}dy\int_{-2}^{2}dz=\frac{1}{V} \int_{-2}^{2}dz \int_{-2}^{2}\( -\frac{y^4}{32} -\frac{y^2x^2}{16}-\frac{z^4}{32}+6-\frac{z^2}{2}-\frac{y^2}{2} \)dy=

=\frac{1}{V} \int_{-2}^{2}\( -\frac{z^2}{8}+24-2z^2-\frac{2}{5}-\frac{z^2}{16}-\frac{8}{3} \)dz=...

Ogólnie w powyższym obliczeniu sie napewno pomyliłem gdzieś, nie mam już czasu sprawdzac (dopiero później jak wróce), ale to kwestia pokazania jak policzyc ;)
Pozostałe współrzędne będą wynosiły po zerze, co z resztą intuicyjnie widac, bo osią symetrii tej bryły jest oś 0x, ale obliczając całkę potrójną też to bardzo szybko wychodzi.
  • 0





Tematy podobne do: Współrzędne środka ciężkości     x