Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Metoda obrazów ładunków - elektrostatyka

Rozpoczęty przez olek182, Sep 07 2011 18:38

Nie możesz napisać tematu
Zaloguj się aby odpowiedzieć

1 odpowiedź w tym temacie

#1 olek182

Kombinator

VIP
Redaktor
241 postów

123
Pomocnik I

Płeć:

Wyróżnienia

Napisano 07.09.2011 - 18:38

Najwyższa ocena

Metoda obrazów ładunków, niegdyś nazywana metodą odbić, jest bardzo pożytecznym narzędziem w rozwiązywaniu problemów dotyczących statyki pól elektrycznych.Nazwa bierze się z faktu tworzenia pewnego fikcyjnego ładunku, który, można powiedzieć, jest obrazem, odbiciem ładunku rzeczywistego.Zagadnienie omówię dokładniej na przykładzie problemu:
Oblicz siłę oddziaływania uziemionej przewodzącej kuli o promieniu R i ładunku punktowego Q umieszczonego w odległości d>R od środka kuli.

Zaindukowany przez ładunek Q na powierzchni kuli o promieniu R ładunek Q' może być zastąpiony punktowym ładunkiem Q' umieszczonym w pewnym punkcie P wewnątrz kuli w odległości c od jej środka.Punkt P oraz wielkość ładunku Q' należy przy tym tak dobrać, aby pole wytworzone przez rzeczywisty ładunek i ładunek zaindukowany miało powierzchnię ekwipotencjalną o potencjale V=0 pokrywającą się z powierzchnią uziemionej kuli.A zatem w dowolnym punkcie C tej powierzchni spełniona jest zależność:

$V_C=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{a}+\frac{Q'}{b}) \Rightarrow \frac{Q}{a}=-\frac{Q'}{b}$

W tym przypadku, aby wyznaczyć wielkość ładunku Q' wygodnie jest rozpatrzyć dwa punkty powierzchni kuli, leżące na prostej łączącej środek kuli z ładunkiem Q.

W punkcie A : $V_A=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{d-R}+\frac{Q'}{R-c})$

W punkcie B: $V_B=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{d+R}+\frac{Q'}{R+c})$

$\begin{cases} \frac{Q}{d-R}=-\frac{Q'}{R-c} \\ \frac{Q}{d+R}=-\frac{Q'}{R+c} \end{cases}$

Rozwiązanie układu prowadzi do $Q'=-Q\frac{R}{d}$ przy $c=\frac{R^2}{d}$ zatem mamy wszystko do policzenia siły oddziaływania $F={k\frac{QQ'}{(d-c)^2}$

W tym miejscu można zadać pytanie jak wyglądałaby sytuacja w przypadku izolowanej kuli?
I tutaj można posłużyć się metodą obrazów.W takim przypadku ładunek na powierzchni kuli wynosi zero, zaś potencjał jest stały, lecz różny od zera.Zatem różnica pomiędzy rozwiązaniem przypadku, gdy kula jest uziemiona, polega na tym, że należy dodać polego pewnego punktowego ładunku fikcyjnego, które powodowałoby zaindukowanie ładnuku q, który neutralizuje indukowany ładunek Q'.Mianowicie q=-Q'.Położenie ładunku q, tzw. drugiego odbicia, należy wybrać tak, aby wytwarzanye przez niego potencjały w różnych punktach powierzchni kuli były jednakowe.Miejscem, w którym można umieścic ów ładunek, jest środek kuli.