Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Interpretacja geometryczna modułu liczb zespolonych

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.08.2011 - 22:43

Polecenie, narysuj:

no i mamy:|(1+i)z -2| \ge 4
a więc zeruję sobie moduł, by wiedzieć, gdzie znajdzie się środek okręgu...

(1+i)z -2=0
z=\frac{2}{1+i}=1-i

no i zaznaczam na płaszczyźnie zespolonej środek okręgu włączając okrąg i obszar poza nim o promieniu 4.
Odpowiedź zawiera inny promień, dlaczego to jest źle?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.08.2011 - 23:14

<br />\\|(1+i)z -2|=\|\frac{(1-i)((1+i)z -2)}{1-i}\|=\frac{|2z -2(1-i)|}{|1-i|}=\frac{2|z -(1-i)|}{\sqrt{2}}\ge 4\Rightarrow |z -(1-i)|\ge 2\sqrt{2}<br />\\

czyli zewnętrze łącznie z brzegiem koła o środku 1-i i promieniu 2\sqrt{2}
  • 2

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2011 - 09:55

Narysuj |(1+i)z -2| \ge 4

... lub ... :( dłużej , na płaszczyźnie xOy np. tak : niech \bl z=x+iy,
to
\re |(1+i)z -2| \ge 4 \ \bl \Leftrightarrow\ |(1+i)\cdot (x+iy)-2|\ge 4 \ \bl \Leftrightarrow\  |x-y-2+(x+y)i|\ge 4 \ \bl \Rightarrow\  \sqrt{(x-y-2)^2+(x+y)^2}\ge 4\ /^2 \ \bl \Leftrightarrow\
 \bl \Leftrightarrow\ (x-y-2)^2+(x+y)^2\ge 16 \ \bl \Leftrightarrow\ x^2+y^2+4-2xy+4y-4x+x^2+2xy+y^2\ge 16 \ \bl \Leftrightarrow\
 \bl \Leftrightarrow\ 2x^2-4x+2+2y^2+4y+2\ge 16\ /:2 \ \bl \Leftrightarrow\ x^2-2x+1+y^2+2y+1\ge 8 \ \bl \Leftrightarrow\ \re (x-1)^2+(y+1)^2\ge(2\sqrt2)^2\ . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1

#4 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2011 - 16:19

<br />|(1+i)z -2|=\|\frac{(1-i)((1+i)z -2)}{1-i}\|=\frac{|2z -2(1-i)|}{|1-i|}=\frac{2|z -(1-i)|}{\sqrt{2}}\ge 4\Rightarrow |z -(1-i)|\ge 2\sqrt{2}<br />

czyli zewnętrze łącznie z brzegiem koła o środku 1-i i promieniu 2\sqrt{2}

octahedron, ale jaki cel ma to przejście


|(1+i)z -2|=\|\frac{(1-i)((1+i)z -2)}{1-i}\|<br>,

bo dalej rozumiem.... a sprawa nie wygląda tak jak w prostszych przykładach, że szukam kiedy się zzeruje i promień jest taki jak po "drugiej" stronie nierówności?
  • 0

#5 eMeSzeNeS

eMeSzeNeS

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
4
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2011 - 10:44

octahedron, ale jaki cel ma to przejście


|(1+i)z -2|=\|\frac{(1-i)((1+i)z -2)}{1-i}\|<br>,

bo dalej rozumiem.... a sprawa nie wygląda tak jak w prostszych przykładach, że szukam kiedy się zzeruje i promień jest taki jak po "drugiej" stronie nierówności?


Zapewne ma to na celu zlikwidowanie współczynnika zespolonego przy zmiennej z. Pozdrawiam
  • 0

#6 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2011 - 18:34

octahedron, ale jaki cel ma to przejście


|(1+i)z -2|=\|\frac{(1-i)((1+i)z -2)}{1-i}\|&lt;br&gt;,

bo dalej rozumiem.... a sprawa nie wygląda tak jak w prostszych przykładach, że szukam kiedy się zzeruje i promień jest taki jak po "drugiej" stronie nierówności?


Coś takiego: |z-z_o| to moduł różnicy z i z_o. Geometrycznie jest to długość odcinka łączącego punkty z i z_o. Zatem |z-z_o|\ge r to zbiór wszystkich punktów odległych od z_o o r lub więcej. Stąd te przekształcenia, by otrzymać nierówność w takiej postaci.
  • 0