Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykaż prawdziwość prawa de Morgana

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 masło

masło

    Kombinator

  • ^Przyjaciele
  • 294 postów
31
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.08.2011 - 11:28

Wykaż prawdziwość wzoru de Morgana:
 \left( \bigcup_{t\in r} A_t \right)'=\bigcap_{t\in r} A'_t
  • 0
Dołączona grafika

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3069 postów
1425
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.08.2011 - 13:59

Wykaż prawdziwość wzoru de Morgana:
 \left( \bigcup_{t\in r} A_t \right)'=\bigcap_{t\in r} A'_t

 ( x \in \left(\bigcup_{t\in r} A_{t} \right)')  \leftrightarrow ( x \in X \setminus \bigcup_{t\in r}A_{t}),
gdzie  X jest dowolnym zbiorem (uniwersum).
Wtedy z różnicy zbiorów
 (x \in X ) \wedge  x \notin \bigcup_{t\in r} A_{t}).
Chcemy udowodnić, że  x\in \bigcap_{t\in r} ( X \setminus A_{t}).
Weźmy w tym celu dowolny element  t_{0} zbioru  r.
Mamy pokazać, że  x \in ( X \setminus A_{t_{0}}).
Wiemy już, że  x\in X . Gdyby  x \in A_{t_{0}}, to  x byłby elementem sumy
 \bigcup_{t\in r} A_{t}, co daje sprzeczność.
Na odwrót, załóżmy, że  x\in \bigcap_{t\in r} A_{t} . Weźmy dowolny element  t_{0} zbioru  r, \  r \neq  \emptyset. Wtedy  x\in (X \setminus A_{t_{0}}).
W szczególności wynika, że  x\in X. Gdyby  x był elementem sumy  \bigcup_{t\in r} A_{t}, to istniałby element  t_{1} zbioru  r taki, że  x\in A_{t_{1}}.
Ale wtedy  x\notin (X \setminus A_{t_{1}}) skąd wynikało by, że  x\notin \bigcap_{t\in r}( X \setminus} A_{t}), co znów daje sprzeczność.
Tym samym
 \left( \bigcup_{t\in r} A_t \right)'=\bigcap_{t\in r} A'_t. co mieliśmy udowodnić.
Podobnie dowodzi się drugie z praw De Morgana dla indeksowanej rodziny zbiorów
 \left ( \bigcap_{t \in r} A_{t} \right )' = \bigcup_{t\in r} A'_{t}.
  • 1