Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

rozwiązać równanie liczb zespolonych

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 10:52

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki:

z^2+4i=0
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 16:17

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki:

z^2+4i=0

 z^2 +4z\sqrt{i} + (2\sqrt{i})^2 - 4z\sqrt{i} = (z +2\sqrt{i})^2  - 4z\sqrt{i} = ( z + 2\sqrt{i} -2\sqrt{z}\sqrt[4]{i})( z + 2\sqrt{i} + 2\sqrt{z}\sqrt[4]{i}) = 0,
Stąd
(z - 2\sqrt{z}\sqrt[4]{i} + 2\sqrt{i} = 0 ) \vee ( z  + 2\sqrt{z}\sqrt[4]{i} + 2\sqrt{i}) = 0
 \sqrt{z} = t,
 (t^2 - 2\sqrt[4]{i}t + 2\sqrt{i} = 0 ) \vee t^2 + 2\sqrt[4]{i}t + \2sqrt{i} = 0
 \Delta  = 4\sqrt{i} - 8\sqrt{i} = -4\sqrt{i}
 t_{1} = \frac{2\sqrt[4]{i} - 2i\sqrt[4]{i}}{2} = \sqrt[4]{i}- i\sqrt[4]{i} lub
 t_{2} = \sqrt[4]{i} + i\sqrt[4]{i}
 z_{1} = \( \sqrt[4]{i} - i\sqrt[4]{i} \)^2, \  z_{2} = \( \sqrt[4]{i} + i\sqrt[4]{i}\)^2.
  • 1

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 16:46

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki:z^2+4i=0

... lub niech \re z=x+yi=?\ \tex i x,y\in \mathb {R} , to
\re z^2+4i=0  \ \bl \Leftrightarrow\ (x+yi)^2=0-4i \ \bl \Leftrightarrow\ x^2+2xyi+^2i^2=0-4i \ \bl \Leftrightarrow\ x^2-y^2+2xyi=0-4i \  \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\ \{x^2-y^2=0\\ 2xy=-4 \ \bl \Leftrightarrow\ \{(x-y)(x+y)=0\\ xy=-2 \ \bl \Leftrightarrow\ \{x-y=0\ \tex lub x+y=0\\ xy=-2 \ \bl \Leftrightarrow\ \{y=x\\x^2=-2 \ \bl lub\  \{y=-x\\ x^2=2 \ \bl \Leftrightarrow\

\bl \Leftrightarrow\ \{y=-x\\x=-\sqrt2\ \tex lub x=\sqrt2 \ \bl \Leftrightarrow\ \fbox{\re z=-\sqrt2+\sqrt2i} \ \bl lub\  \fbox{\re z=\sqrt2-\sqrt2i } . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1

#4 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1144
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 20:35

No to może jeszcze ja:
<br />\\z^2+4i=0<br />\\z^2=-4i<br />\\(re^{i\varphi})^2=r^2e^{2i\varphi}=4e^{-i\frac{\pi}{2}}<br />\\r=2<br />\\2\varphi=-\frac{\pi}{2}+2k\pi<br />\\\varphi=-\frac{\pi}{4}\vee \varphi=-\frac{\pi}{4}+\pi<br />\\z_1=2e^{-i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-i\sqrt{2}<br />\\z_2=2e^{i(-\frac{\pi}{4}+\pi)}=-2e^{-i\frac{\pi}{4}}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}<br />\\
  • 1

#5 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 22:37

... lub niech \re z=x+yi=?\ \tex i x,y\in \mathb {R} , to
\re z^2+4i=0  \ \bl \Leftrightarrow\ (x+yi)^2=0-4i \ \bl \Leftrightarrow\ x^2+2xyi+^2i^2=0-4i \ \bl \Leftrightarrow\ x^2-y^2+2xyi=0-4i \  \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\ \{x^2-y^2=0\\ 2xy=-4 \ \bl \Leftrightarrow\ \{(x-y)(x+y)=0\\ xy=-2 \ \bl \Leftrightarrow\ \{x-y=0\ \tex lub x+y=0\\ xy=-2 \ \bl \Leftrightarrow\ \{y=x\\x^2=-2 \ \bl lub\  \{y=-x\\ x^2=2 \ \bl \Leftrightarrow\

\bl \Leftrightarrow\ \{y=-x\\x=-\sqrt2\ \tex lub x=\sqrt2 \ \bl \Leftrightarrow\ \fbox{\re z=-\sqrt2+\sqrt2i} \ \bl lub\  \fbox{\re z=\sqrt2-\sqrt2i } . ... :rolleyes: ^{^{*R}}


tadpod... zastanawia mnie tylko jedno " x^2+2xyi+^2i^2=0-4i ", skąd to przeniesienie 4i na prawą stronę, jest jakiś algorytm, przecież 2xyi też zawiera "i"
  • 0

#6 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2011 - 23:36

... no nie, o algorytmie zapomnij i możesz oczywiście także i tak :
x^2+2xyi+y^2i^2+4i=0 \ \bl \Leftrightarrow\ x^2-y^2+2i(xy+2)=0 \ \bl \Leftrightarrow\ \{x^2-y^2=0\\ xy+2=0\ itd, itp, jak wyżej u mnie . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1

#7 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2890 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2016 - 19:18

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki:

z^2+4i=0

 

z^2=-4i\quad\to\quad\ \{z_1=+\sq{-4i}\\z_2=-\sq{-4i}\quad\to\quad\ \{z_1=2i\sq i\\z_2=-2i\sq i


  • 1





Tematy podobne do: rozwiązać równanie liczb zespolonych     x