Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

trapez prostokątny


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 monikap7

monikap7

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • 830 postów
19
Mały Pomocnik I

Napisano 21.06.2011 - 19:50

Dany jest trapez prostokątny. Okrąg o danym promieniu R przechodzący przez punkty A, C i D przecina odcinki AB i BC odpowiednio w punktach M i N tak, że zachodzi równość
AM:AB=CN:CB=1:3. Oblicz pole trapezu.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.12.2018 - 23:05

b=CD=AM;\ AB=3b;\ MB=2b;\ AD=MC=h;\ AC=2R;\ BC=3CN
z tw. Pitagorasa w  \triangle ACD\ \ \ h^2=4R^2-b^2
z tw. Pitagorasa w  \triangle MBC\ \ \ BC^2=h^2+4b^2=4R^2+3b^2\ \ \ (*1)
\{P_{ABC}=\fr12AB\cd MC=\fr12\cd3b\cd h=\fr32bh\\P_{ABC}=\fr12BC\cd AN    \quad\to\quad\ 3bh=BC\cd AN\ /^2 
\quad\to\quad\ 9b^2h^2=BC^2AN^2 \quad\to\quad\ 9b^2(4R^2-b^2)=BC^2\cd AN^2\ \ \ (*2)
z tw. Pitagorasa w  \triangle ANC\ \ \ AN^2=4R^2-\(\fr13BC\)^2=4R^2-\fr19BC^2     podstawię to do  (*2)
9b^2(4R^2-b^2)=BC^2\cd \(4R^2-\fr19BC^2\)\ /\cd9
81b^2(4R^2-b^2)=36R^2BC^2-BC^4   podstawię  (*1)
81b^2(4R^2-b^2)=36R^2(4R^2+3b^2)-(4R^2+3b^2)^2
9b^4-30R^2b^2+16R^4=0
\Delta=900R^4-4\cd9\cd16R^4=324R^4 \quad\to\quad\ \sq{\Delta}=18R^2
b^2=\fr{30R^2-18R^2}{2\cd9}=\fr69R^2 \quad\to\quad\ b=\fr{\sq6}{3}R \quad\to\quad\ h=\sq{4R^2-\fr69R^2}=\fr{\sq{30}}{3}R
P=\fr{(AB+CD)\cd AD}{2}=\fr{(3b+b)h}{2}=2bh=2\cd\fr{\sq6}{3}R\cd\fr{\sq{30}}{3}R=\fr{4\sq5}{3}R^2

  • 0