Za pomocą rozkładu LU można rozwiązać układ równań liniowych lub
obliczyć wartość wyznacznika macierzy
Macierz może zostać rozłożona na iloczyn macierzy za pomocą eliminacji Gaussa
Czasami jednak nie uda nam się rozłożyć macierzy za pomocą eliminacji Gaussa
Należy wówczas zastosować eliminację Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego
aby otrzymać rozkład
Częściowy wybór elementu podstawowego polega na tym że zanim przystąpimy do eliminacji
szukamy elementu największego co do wartości bezwzględnej w danej kolumnie
Trzeba również wprowadzić nową kolumnę w której będą przechowywane pozycje jedynek w macierzy permutacji
Macierz
jest macierzą po eliminacji Gaussa
Macierz
jest macierzą współczynników użytych do zerowania odpowiednich elementów macierzy
Rozkładu LU można też dokonać metodą Doolittle'a
Ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy układ równań liniowych o
niewiadomych
Układ ten dość łatwo jest rozwiązać metodą podstawiania
Teraz pokażę jak użyć rozkładu LU do rozwiązywania układów równań liniowych
Zapiszmy układ równań liniowych w postaci macierzowej
Pomnóżmy lewostronnie przez
Niech
Wówczas otrzymamy
Pomnóżmy powyższe równanie lewostronnie przez
Ostatecznie otrzymujemy
Pierwszy układ równań liniowych należy rozwiązać za pomocą postępowania wprzód
Drugi układ równań liniowych należy rozwiązać za pomocą postępowania wstecz
Rozkładu LU można także użyć do obliczenia wyznacznika macierzy
Jeżeli nie potrzeba było używać metody z częściowym wyborem elementu podstawowego
to przy założeniu że na macierzy L elementy diagonalne (na głównej przekątnej) są równe jeden
wyznacznik jest równy iloczynowi elementów diagonalnych macierzy U
Jeżeli użyliśmy metody z wyborem elementu podstawowego to znak wyznacznika ustalamy przy pomocy macierzy permutacji
Przykład :
rozkład LU
Rozkład LU z wyborem elementu podstawowego
1. Wprowadzamy nową kolumnę w której będziemy przechowywać pozycje jedynek w
macierzy permutacji
2. W kolumnie szukamy elementu o największej wartości bezwzględnej i
jeśli znajdziemy to zamieniamy wiersze
3. Dzielimy wszystkie elementy w kolumnie poniżej elementu podstawowego
przez element podstawowy
4. Obliczamy uzupełnienie Schura
5.Powtarzamy kroki 2..4 n-1 razy
Uzupełnienie Schura
gdzie k jest numerem iteracji
Rozkładu LU można dokonać jeszcze w ten sposób
Zaletą rozkładu LU jest to że można w prosty sposób rozwiązywać kilka układów równań
różniących się tylko kolumną wyrazów wolnych
Jednym z takich przykładów jest obliczanie macierzy odwrotnej
Rozwiązujemy n układów równań gdzie kolumna wyrazów wolnych jest kolejną kolumną macierzy jednostkowej
Jeżeli używamy rozkładu LU z wyborem elementu głównego to kolumny macierzy odwrotnej
ustawiamy zgodnie z macierzą permutacji
Rozkład LU
Rozpoczęty przez Mariusz M, May 12 2011 19:44
Brak odpowiedzi do tego tematu
Tematy podobne do: Rozkład LU x
|
Równania i nierówności, procenty
Rozkład wielomianu na czynnikiNapisany przez lolek89, 16 Dec 2007 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
X ma rozkład jednost., wykaz ze y=-lnx ma wykladniczyNapisany przez Ktosik2008, 17 Jan 2008 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
Rozkład GęstościNapisany przez Andree99, 06 Mar 2008 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
Rozkład PoissonaNapisany przez dixon, 06 Mar 2008 |
|
||
|
Funkcje
Tabelka przedstawia tygodniowy rozkład zajęć klasy trzeciejNapisany przez Motyl, 03 Apr 2008 |
|