Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Rozwinięcie w szereg Maclaurina


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Kuma

Kuma

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 18 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.04.2011 - 08:16

Zad. Rozwiń podane funkcje w szereg Maclaurina:

f(x)=x^{2}\ln\left(4-x^{2}\right)

g(x)=\arctan\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}

Z góry dziękuję za wszelką pomoc :)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3066 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.12.2018 - 00:02

f(x)=x^2\ln(4-x^2) \quad\to\quad f(0)=0
f'=2x\ln(4-x^2)+x^2\fr{-2x}{4-x^2}=2x\ln(4-x^2)-\fr{2x^3}{4-x^2} \quad\to\quad f'(0)=0
f''=2\ln(4-x^2)+2x\fr{-2x}{4-x^2}-\fr{6x^2(4-x^2)-2x^3\cd(-2x)}{(4-x^2)^2} \quad\to\quad f''(0)=2\ln4
f'''=\fr{-4x}{4-x^2}+...+... \quad\to\quad f'''(0)=0
f^{(4)}=-\fr{4(4-x^2)-4x\cd(-2x)}{(4-x^2)^2}+...+... =-\fr{4}{4-x^2}-\fr{8x^2}{(4-x^2)^2}...+... \quad\to\quad f^{(4)}(0)=-1
f^{(5)}=-\fr{8x}{(4-x^2)^2}+...+... \quad\to\quad f^{(5)}(0)=0
f^{(6)}=-\fr{8(4-x^2)^2-8x(4-x^2)(-2x)}{(4-x^2)^4}+...+...=-\fr{8}{(4-x^2)^2}-\fr{16x^2}{(4-x^2)^3}+...+...  \quad\to\quad f^{(6)}(0)=-\fr12
f^{(7)}=-\fr{32x}{(4-x^2)^3}-\fr{32x(4-x^2)^3-48x^2(4-x^2)^2(-2x)}{(4-x^2)^6}+...+... \quad\to\quad f^{(7)}(0)=0
f^{(8)}=-\fr{32}{(4-x^2)^3}+\fr96x(4-x^2)^2(-2x)}{(4-x^2)^6}+...+...\quad\to\quad f^{(7)}(0)=-\fr12
należy przypuszczać, że
f^{(2k+1)}(0)=0\ \ \ \ f^{(2k)}(0)=-\fr12
więc
f(x)=\ln4\cd x^2-\fr1{24}x^4-\fr{1}{2\cd6!}x^6-\fr{1}{2\cd8!}x^8-\fr12\sum_{i=5}^{\infty}\fr{x^{2i}}{(2i)!}
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

  • 0