Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Wartości i wektory własne


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5953 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.04.2011 - 13:42

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE

W życiu kazdego studenta kierunku ścisłego przychodzi moment, gdy musi on zmierzyć się z wartościami i wektorami własnymi przekształceń.

Co to takiego jest:

Książkowa definicja mówi nam tyle:

Niech A bedzie kwadratowa macierza n \times n. Wówczas A wyznacza przekształcenie liniowe przestrzeni Rn w siebie. Niech v \in R^n będzie pewnym niezerowym wektorem oraz niech L = \{t \cdot v : t \in R\} bedzie prosta wyznaczona przez ten wektor.
Jezeli przekształcenie A przekształca prosta L w siebie, to mówimy, ze v jest wektorem własnym przekształcenia A. Oznacza to, ze A\cdot v=\lambda \cdot v dla pewnej liczby rzeczywistej \lambda, zwanej wartością własna związaną z wektorem własnym v.

Hmmm..... nie wiem jak wam, ale mi na pierwszy rzut oka ta definicja nic nie mówiła :) Jeżeli jesteście w tej samej sytuacji to zapraszam do uważnej lektury dalszej cześci, w której postaram się przybliżyć: jak wyznaczać wartości własne odwzorowań, wektory własne związane z daną wartością własną, a w kolejnych "artykułach" równiez pewne zastosowanie omawianego tematu w innym dziale matematyki.

A więc zaczynamy:

Jak wiecie, każde przekształcenie liniowe ma macierz (zwaną macierzą przekształcenia), którą oznaczać bedziemy przez A

Funkcję w_{\lambda}=det(A-\lambda\cdot I), gdzie I to macierz jednostkowa nazywać będziemy wielomianem charakterystycznym. Pierwiastki naszego wielomianu charakterystycznego są szukanymi wartościami własnymi.

Przykład 1:

Weźmy przekształcenie o macierzy A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]. Wyznaczymy wartości własne tego przekształcenia.
Liczymy wyznacznik macierzy \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] czyli \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&0\\2&2-\lambda&0\\-1&-1&-1-\lambda\end{array}\right] wyznacznyk policzymy korzystajac z metody Sarrusa-zakładam, ze tu umiecie policzyć, wiec podam, ze det A=(\lambda+1)(1-\lambda)(\lambda-2) otrzymaliśmy akurat postać iloczynową, wiec łatwo odczytamy pierwiastki tego wielomianu, jednaak niekiedy zdarzą się sytuacje, gdy będzie trzeba rozwiązać trudniejsze równanie.
Pierwiastkami naszego wielomianu charakterystycznego są liczby \lambda_1=-1. \lambda_2=1,\lambda_3=2 i te właśnie liczby są wartościami własnymi naszego odwzorowania.

Nie trudno się domyślić, że Wielomian charakterystyczny w_A jest wielomianem stopnia n (gdzie n to rozmiar macierzy A). A ponieważ wielomian stopnia n na co najwyżej n pierwiastków to każde odwzorowanie ma co najwyżej n rzeczywistych wartości własnych.

Wyznaczmy teraz wektory własne związane z naszymi wartościami własnymi z Przykładu 1:

dla \lambda=-1 nasza macierz przekształcenia jest postaci: A_{\lambda_1}=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\2&3&0\\-1&-1&0\end{array}\right]

szukamy wektora v takiego, żeA_{\lambda_1}\cdot v=0

\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\2&3&0\\-1&-1&0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]

stąd: \{2x_1=0\\2x_1+3x_2=0\\-x_1-x_2=0 czyli \{x_1=0\\x_2=0\\x_3=a czyli wektor v_1 związany z wartością własną \lambda_1 jest postaci v_1=a\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right], a\in R


dla \lambda=1 nasza macierz przekształcenia jest postaci: A_{\lambda_2}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\\-1&-1&-2\end{array}\right]

szukamy wektora v takiego, żeA_{\lambda_1}\cdot v=0

\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\\-1&-1&-2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]

stąd: \{2y_1+y_2=0\\-y_1-y_2-2y_3=0 czyli \{x_1=2x_3\\x_2=-4x_3\\x_3=b stąd: \{x_1=2b\\x_2=-4b\\x_3=b czyli wektor v_2 związany z wartością własną \lambda_2 jest postaci v_2=b\left[\begin{array}{ccc}2\\-4\\1\end{array}\right], b\in R


dla \lambda=2 nasza macierz przekształcenia jest postaci: A_{\lambda_3}=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\2&0&0\\-1&-1&-3\end{array}\right]

szukamy wektora v takiego, żeA_{\lambda_1}\cdot v=0

\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\2&0&0\\-1&-1&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]

stąd: \{-z_1=0\\2z_2=0\\-z_1-z_2-3z_3=0 czyli \{x_1=0\\x_2=0\\x_3=0 czyli wektor v_1 związany z wartością własną \lambda_1 jest postaci v_3=c\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right], c\in R
  • 1

MimeTex
Regulamin
Klikając Posted Image mówisz DZIĘKUJĘ


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 młodzian

młodzian

    Druga pochodna

  • VIP
  • 133 postów
33
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.04.2011 - 21:39

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE


Przykład 1:

Weźmy przekształcenie o macierzy A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]. Wyznaczymy wartości własne tego przekształcenia.
Liczymy wyznacznik macierzy \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right] czyli \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&0\\2&2-\lambda&0\\-1&-1&-1-\lambda\end{array}\right]

chyba powinno być tak :rolleyes::)
Przykład 1: \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&0\\2&2-\lambda&0\\-1&-1&-1-\lambda\end{array}\right]
  • 0