WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
W życiu kazdego studenta kierunku ścisłego przychodzi moment, gdy musi on zmierzyć się z wartościami i wektorami własnymi przekształceń.
Co to takiego jest:
Książkowa definicja mówi nam tyle:
Niech A bedzie kwadratowa macierza . Wówczas A wyznacza przekształcenie liniowe przestrzeni Rn w siebie. Niech będzie pewnym niezerowym wektorem oraz niech bedzie prosta wyznaczona przez ten wektor.
Jezeli przekształcenie A przekształca prosta L w siebie, to mówimy, ze jest wektorem własnym przekształcenia A. Oznacza to, ze dla pewnej liczby rzeczywistej , zwanej wartością własna związaną z wektorem własnym v.
Hmmm..... nie wiem jak wam, ale mi na pierwszy rzut oka ta definicja nic nie mówiła Jeżeli jesteście w tej samej sytuacji to zapraszam do uważnej lektury dalszej cześci, w której postaram się przybliżyć: jak wyznaczać wartości własne odwzorowań, wektory własne związane z daną wartością własną, a w kolejnych "artykułach" równiez pewne zastosowanie omawianego tematu w innym dziale matematyki.
A więc zaczynamy:
Jak wiecie, każde przekształcenie liniowe ma macierz (zwaną macierzą przekształcenia), którą oznaczać bedziemy przez
Funkcję , gdzie to macierz jednostkowa nazywać będziemy wielomianem charakterystycznym. Pierwiastki naszego wielomianu charakterystycznego są szukanymi wartościami własnymi.
Przykład 1:
Weźmy przekształcenie o macierzy . Wyznaczymy wartości własne tego przekształcenia.
Liczymy wyznacznik macierzy czyli wyznacznyk policzymy korzystajac z metody Sarrusa-zakładam, ze tu umiecie policzyć, wiec podam, ze otrzymaliśmy akurat postać iloczynową, wiec łatwo odczytamy pierwiastki tego wielomianu, jednaak niekiedy zdarzą się sytuacje, gdy będzie trzeba rozwiązać trudniejsze równanie.
Pierwiastkami naszego wielomianu charakterystycznego są liczby i te właśnie liczby są wartościami własnymi naszego odwzorowania.
Nie trudno się domyślić, że Wielomian charakterystyczny jest wielomianem stopnia (gdzie to rozmiar macierzy ). A ponieważ wielomian stopnia na co najwyżej pierwiastków to każde odwzorowanie ma co najwyżej rzeczywistych wartości własnych.
Wyznaczmy teraz wektory własne związane z naszymi wartościami własnymi z Przykładu 1:
dla nasza macierz przekształcenia jest postaci:
szukamy wektora takiego, że
stąd: czyli czyli wektor związany z wartością własną jest postaci
dla nasza macierz przekształcenia jest postaci:
szukamy wektora takiego, że
stąd: czyli stąd: czyli wektor związany z wartością własną jest postaci
dla nasza macierz przekształcenia jest postaci:
szukamy wektora takiego, że
stąd: czyli czyli wektor związany z wartością własną jest postaci
Wartości i wektory własne
Rozpoczęty przez niki87, Apr 04 2011 13:42
1 odpowiedź w tym temacie
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 19.04.2011 - 21:39
chyba powinno być takWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
Przykład 1:
Weźmy przekształcenie o macierzy . Wyznaczymy wartości własne tego przekształcenia.
Liczymy wyznacznik macierzy czyli
Przykład 1: =