Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykaż, że


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 myszka666

myszka666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 244 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.03.2011 - 22:01

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca to a=b=c.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bziomek

bziomek

    Ziomalek... ;).

  • $Jr Admin
  • 984 postów
244
Pomocnik III
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2011 - 22:26

a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca \ \ |\ \cdot2 \ \Leftrightarrow \ \\<br />\\\Leftrightarrow \ 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca \ \Leftrightarrow \\<br />\\\Leftrightarrow  \ a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0 \ \Leftrightarrow  \\<br />\\\Leftrightarrow \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \ \Rightarrow \\<br />\\\Rightarrow \ {\{a-b=0\\b-c=0\\c-a=0 } \ \ \Leftrightarrow \ a=b=c
To chyba nie wymaga żadnego komentarza... ;).
  • 1

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2011 - 22:38

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a^2+b^2  +c^2=ab+  bc+ca\ to \ a=b=c.

...otóż, wystarczy zauważyć, że
\re a^2+b^2+c^2=ab+ bc+ca\ \ /\cdot 2 \ \bl \Leftrightarrow\  2a^2+2b^2+2c^2=2ab+ 2bc+2ca\ \ \bl \Leftrightarrow\ ... :)  a^2-2ab+b^2 +b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\ \ \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \ \bl \Leftrightarrow\ a-b=0 \ \re  \tex i\ b-c=0 \ \re  \tex i\ c-a=0 \ \bl \Leftrightarrow\ a=b \ \re  \tex i\ b=c \ \re  \tex i\ c=a \ \bl \Leftrightarrow\ \re a=b=c , a to należało wykazać . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 2





Tematy podobne do: Wykaż, że     x