Skocz do zawartości


Zdjęcie

Całka przez części z sin2x


Ten temat został zarchiwizowany. Nie można odpowiadać w tym temacie.
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 19:49

Szukam na forum i nie mogę nigdzie znaleźć:
\int x \sin 2x dx

Oczywiście robiłam to na dwa sposoby, ale jak traktuję f(x)=x i g'(x)=sin 2x, to wszystko się redukuje i zostaje mi tylko ta całka, którą trzeba obliczyć, a znowu jak f(x)=sin2x i g'(x)=x, to po pierwszym przecałkowaniu przez części zostaje mi całka z x^2 razy coś, potem z x^3 i tak w nieskończoność..
W takim razie nie wiem jak, w poleceniu mam niestety przez części.
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3185 postów
1015
Starszy Wykładowca I

Napisano 30.03.2011 - 20:12

\int x\sin 2x dx\qquad=\qquad \[f(x)=x\quad g'(x)=\sin 2x\\ f'(x)=1\quad g(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x\]\qquad=\qquad -\frac{1}{2}x\cos 2x +\frac{1}{2}\int \cos 2x dx\qquad=\qquad -\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C

Mi tam się nic nie redukuje :)
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#3 Mariusz M

Mariusz M

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 574 postów
192
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 20:14

=-\frac{1}{2}x\cos{2x}+\frac{1}{2}\int{\cos{2x}\mbox{d}x}\\<br />
=-\frac{1}{2}x\cos{2x}+\frac{1}{4}\sin{2x}+C<br />

#4 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 20:20

No tak... Ja po prostu robiłam, że g'(x)=\sin 2x, a g(x)=\sin^2 x i dlatego mi się redukowało. No w końcu (sin^2 x)'=\sin 2x, ale to był kiepski pomysł :)
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.

#5 Mariusz M

Mariusz M

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 574 postów
192
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 20:35

No tak... Ja po prostu robiłam, że g'(x)=\sin 2x, a g(x)=\sin^2 x i dlatego mi się redukowało. No w końcu (sin^2 x)'=\sin 2x, ale to był kiepski pomysł :)


Tak jak ty całkowałaś też można
(zakładając że po drodze nie zrobiłaś żadnego błędu w obliczeniach)
Aby obliczyć całkę którą dostałaś możesz znowu liczyć przez części z użyciem jedynki trygonometrycznej
albo zamienić ją na sumę funkcji trygonometrycznych wielokrotności kąta

#6 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 21:05

Teraz to ja trochę namieszałam :)
Najpierw liczyłam to tak:
\int x\sin 2x dx= \begin{bmatrix} f(x)=x & g(x)=sin^2 x \\ f^\prime(x)=1 & g^\prime(x)=sin2x \end{bmatrix} \\ =sin^2 x-\int sin^2x dx =\begin{bmatrix} f(x)=sin x & g(x)=-cos x \\ f^\prime(x)=cos x & g^\prime (x)=sin x \end{bmatrix}=sin^2 x+sin xcos x +\int cos^2 x dx =\begin{bmatrix} f(x)=cos x & g(x)=sin x \\ f^\prime (x)=-sin x & g^\prime (x)=cos x \end{bmatrix}\\=sin^2 x+sin x cos c+sin x cos x +\int sin^2 x dx =...
i tu wychodzi znowu całka z sin^2 x, więc to tak chyba będzie w nieskończoność. W takim razie próbowałam jeszcze tak:
\int x sin2x dx=2\int x sin x cos x dx=\begin{bmatrix} f(x)=x & g(x)=\frac{1}{2} sin^2x \\ f^\prime(x)=1 & g^\prime(x)=sin x cos x\end{bmatrix}=xsin^2 x-\int sin^2 x dx =\begin{bmatrix} f(x)= sin^2 x & g(x)=x \\ f^\prime(x)=sin2x & g^\prime(x)=1\end{bmatrix}=\\=xsin^2 x-xsin^2 x+\int x sin2x
czyli zostało to samo co na początku
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.

#7 Mariusz M

Mariusz M

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 574 postów
192
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 21:23

Masz błąd przy pierwszym doborze funkcji do całkowania przez części

Powinno być

\begin{bmatrix} f(x)=x & g(x)=sin^2 x \\ f^\prime(x)=1 & g^\prime(x)=sin2x \end{bmatrix}<br />

lub ewentualnie

\begin{bmatrix} f(x)=2x\sin{x} & g(x)=\sin{x} \\ f^\prime(x)=2\sin{x}+2x\cos{x} & g^\prime(x)=\cos{x} \end{bmatrix}<br />


Poza tym całkę która tobie została wygodniej policzyć "na boku"

#8 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 21:32

Tak, wiem, źle tam napisałam na początku, ale potem liczyłam tak, jakby tam było f(x)=x :)
A nie mam pojęcia jak na boku policzyć \int sin^2 x dx, to policzyłam przez części.
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.

#9 Mariusz M

Mariusz M

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 574 postów
192
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 21:45

Przez części

\int{\sin{x}\sin{x}\mbox{d}x}=\begin{bmatrix}f(x)=\sin{x}&g(x)=-\cos{x}\\f^{\prime}(x)=\cos{x}&g^{\prime}(x)=\sin{x}\end{bmatrix}=-\cos{x}\sin{x}+\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}

Dodajmy stronami naszą całkę aby otrzymać jedynkę trygonometryczną w funkcji podcałkowej

2\int{\sin{x}\sin{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin{x}+\int{\left(\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\<br />
2\int{\sin{x}\sin{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin{x}+\int{\mbox{d}x}\\<br />
2\int{\sin^{2}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin{x}+x\\<br />

Można też skorzystać z tego że

\sin^{2}{x}=\frac{1}{2}\left(1-\cos{2x}\right)

#10 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II

Napisano 30.03.2011 - 21:52

Dobry pomysł, nawet nie wiedziałam że tak można :) Dzięki :)
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.






Partnerem technologicznym jest dhosting.pl      Współpracują z nami     PortalMatematyczny.pl