Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Trójkąt równoramienny - oblicz pole

trójkąt równoramienny

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 matematyczka101

matematyczka101

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
-3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.03.2011 - 18:46

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 250. Wiedząc, że ramię tworzy z podstawą taki kąt \  \alpha, że tg \ \alpha  =  \frac{5}{12}, oblicz pole trójkąta.
  • 1

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 matma4u

matma4u

    Admin Wszechmocny :)

  • Administrator
  • Redaktor
  • 1224 postów
441
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2011 - 19:33

Troszkę bez rysunku niewygodnie, ale za pomocą oznaczeń i objaśnień postaram się to wytłumaczyć.

Oznaczenia:

OBW_{\triangle} - obwód trójkąta równoramiennego, w naszym wypadku wynosi 250
a - podstawa trójkąta
b - boki trójkąta (dwa ramiona)
\alpha - kąt przy podstawie trójkąta
h - wysokość trójkąta (opuszczona na podstawę a)
tg\alpha=\frac{5}{12}


OBW_{\triangle}=a+2b\\ 250=a+2b \\ a=250-2b

Zauważ, że wysokość h, bok b i \frac{1}{2}a tworzą trójkąt prostokątny, z definicji tangensa (tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości drugiej przyprostokątnej) mamy:
tg\alpha=\frac{h}{\frac{1}{2}a}=\frac{5}{12}\rightarrow h=\frac{5}{12}\cdot \frac{1}{2}a=\frac{5}{24}a

\red\fbox {h=\frac{5}{24}a}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta o bokach b,h,\frac{1}{2}a ) mamy:
h^2=b^2 -\frac{1}{4}a^2
\(\frac{5}{24}a\)^2=b^2 -\frac{1}{4}a^2 \rightarrow b=\sqrt{\frac{25}{576}a^2+\frac{144}{576}a^2}=\sqrt{\frac{169}{576}a^2}=\frac{13}{24}a

\red\fbox {b=\frac{13}{24}a}

Teraz wystarczy do wzoru na obwód za b podstawić otrzymaną wartość. Otrzymamy w ten sposób a.

Reszta będzie już dziecinnie łatwa :D
\red P_{\triangle}=\frac{1}{2}a\cdot h = \frac{1}{2}a\cdot \frac{5}{24}a = \frac{5}{48}a^2
  • 0

Regulamin

.

MimeTeX

.

Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.


#3 matematyczka101

matematyczka101

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
-3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.03.2011 - 20:05

RYSUNKU NIE BYŁO
  • 0

#4 matma4u

matma4u

    Admin Wszechmocny :)

  • Administrator
  • Redaktor
  • 1224 postów
441
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2011 - 20:07

Wiem, wiem. Miałem na myśli to, że ja nie wykonam rysunku. Jestem mało uzdolnionym grafikiem, więc wykonanie rysunku zajęłoby mi więcej czasu niż napisanie rozwiązania.
  • 0

Regulamin

.

MimeTeX

.

Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.


#5 matematyczka101

matematyczka101

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
-3
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.03.2011 - 21:20

a= 120 ?
a Pole = 1500  j^2?
  • 0

#6 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2011 - 21:59

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 250. Wiedząc, że ramię tworzy z podstawą taki kąt \  \alpha, że tg \ \alpha  =  \frac{5}{12},
oblicz pole trójkąta.

hmm ... :) , no to może ja załatwię twoje zadanie tak : niech \bl h,r,2a - długość odpowiednio wysokości, ramienia
i podstawy danego trójkąta równoramiennego, to z warunków zadania
\{tg\al=\frac{5k}{12k}=\frac{h}{a}\ \tex i\ r=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{169k^2}=13k\\2a+2r=250 ,\ \tex czyli\ a+r=125,\ \tex to\ 12k+13k=125 \ \Rightarrow\ 25k=125 \ \Rightarrow\   k=5\ , więc

\re  P_{\Delta}= \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=a\cdot h=12k\cdot 5k=60k^2=60\cdot 5^2=60\cdot 25= \re 1500j^2 - szukane pole trójkąta . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 0