Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka niewymierna

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
12 odpowiedzi w tym temacie

#1 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.03.2011 - 16:46

\int \sqrt{4 x^{2}+10x+8 }dx Proszę o pomoc
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.03.2011 - 17:17

\int\sqrt{4x^2+10x+8}dx\quad=\quad 2\int\sqrt{x^2+\frac{5}{2}x+2}dx\quad=\quad 2\int\sqrt{(x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{16}}dx\quad=\quad \[x+\frac{5}{4}=t\\dx=dt\]\qquad=\qquad 2\int\sqrt{\frac{7}{16}+t^2}dt

Teraz korzystasz ze wzoru na całkę \int\sqrt{x^2+k}dx, którą się oblicza metodą całek stowarzyszonych ( + podstawienie Eulera ).
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#3 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2011 - 11:30

a jeśli nie miałem tego jeszcze na zajęciach, jestem wstanie to wyliczyć inaczej/
  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3036 postów
1408
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2011 - 12:44

\int \sqrt{4 x^{2}+10x+8 }dx Proszę o pomoc

Sprowadzamy funkcję podcałkową do postaci kanonicznej
\int \sqrt{4 x^{2}+10x+8 }dx = \int 2 \sqrt{(x + \frac{5}{4})^2 +(\frac{\sqrt{7}}{4})^2}dx
i stosujemy podstawienia
 \(x +\frac{5}{4} \) = \frac{\sqrt{7}}{4}\sin h(t) lub jedno z podstawień Eulera.
 dx = \frac{\sqrt{7}}{4}\cosh (t)dt.
otrzymujemy
 \frac{7}{4}\int \cos^2 h (t)dt
Z tą całką dasz sobie radę?
Całkowanie "przez częsci" lub podstawienie
 \cos^2 h (t) = \frac{1}{2}( cosh 2t + 1 )
  • 0

#5 malina

malina

    :)

  • VIP
  • 682 postów
153
Pomocnik II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2011 - 19:38

Uwaga!

Regulamin punkt 2 mówi:

Przy tytule tematów w kategorii "Działy matematyczne" koniecznie określ poziom, na jakim oczekujesz rozwiązania zadania.
Wyboru dokonuje się z listy rozwijalnej znajdującej się po lewej stronie okienka wpisywania nazwy tematów. Twój temat nie zostanie dodany jeśli nie dokonasz wyboru.
Poziomy:
Dołączona grafika - klasy 4-6 szkoły podstawowej
Dołączona grafika - klasy 1-3 gimnazjum
Dołączona grafika - klasy 1-3 liceum (lub technikum)
Dołączona grafika - poziom akademicki

Proszę zmienić poziom zadania.


  • 1
Lektury obowiązkowe:

1. Regulamin Forum

2. MimeTeX - poradnik

Możesz podziękować innemu użytkownikowi klikając znak przy jego poście.

#6 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2011 - 21:31

Dziękuje, a licząc przez podstawienie podstawiam za cosh2t + 1?
  • 0

#7 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 853 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2011 - 22:55

\int \sqrt{4x^{2}+10x+8}dx\\<br />\\ \sqrt{4x^2+10x+8}=t-2x\\<br />\\4x^2+10x+8=t^2-4xt+4x^2\\<br />\\10x+8=t^2-4xt\\<br />\\x \left( 4t+10\right) =t^2-8\\<br />\\x=\frac{t^2-8}{4t+10}\\<br />\\ \mbox{d}x = \frac{2t\left( 4t+10\right) - 4\left(t^2-8 \right) }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />\\  \mbox{d}x=\frac{8t^2+20t - 4t^2+32 }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />\\ \mbox{d}x=\frac{4t^2+20t +32 }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />\\t-2x=\frac{4t^2+10t-2t^2+16}{4t+10}\\<br />\\t-2x=\frac{2t^2+10t+16}{4t+10}\\<br />\\=\int{ \frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2  \cdot \left( -8\right) }{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}

Teraz możesz albo przez części albo rozkładać na ułamki proste

=  \int{\left( At+B\right) \mbox{d}t }+  \int{ \frac{C}{4t+10}  \mbox{d}t}+\int{ \frac{D}{\left( 4t+10\right)^2 }  \mbox{d}t} + \int{ \frac{E}{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}
  • 1

#8 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 12:46

\int \sqrt{4x^{2}+10x+8}dx\\<br /> \sqrt{4x^2+10x+8}=t-2x\\   dlaczego tutaj masz 2x?<br />4x^2+10x+8=t^2-4xt+4x^2\\<br />10x+8=t^2-4xt\\<br />x \left( 4t+10\right) =t^2-8\\<br />x=\frac{t^2-8}{4t+10}\\<br /> \mbox{d}x = \frac{2t\left( 4t+10\right) - 4\left(t^2-8 \right) }{\left( 4t+5\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />  \mbox{d}x=\frac{8t^2+20t - 4t^2+32 }{\left( 4t+5\right)^2 } \mbox{d}t\\<br /> \mbox{d}x=\frac{4t^2+20t +32 }{\left( 4t+5\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />t-2x=\frac{4t^2+10t-2t^2+16}{4t+10}\\<br />t-2x=\frac{2t^2+10t+16}{4t+10}\\<br />=\int{ \frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2  \cdot \left( -8\right) }{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}

Teraz możesz albo przez części albo rozkładać na ułamki proste

=  \int{\left( At+B\right) \mbox{d}t }+  \int{ \frac{C}{4t+10}  \mbox{d}t}+\int{ \frac{D}{\left( 4t+10\right)^2 }  \mbox{d}t} + \int{ \frac{E}{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}


  • 0

#9 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 853 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 12:54

Aby po podniesieniu stronami do kwadratu 4x^2
się wyzerowało
  • 0

#10 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 13:00

ln\left| x+ \frac{5}{4} + \sqrt{ \left( x+ \frac{5}{4} \right) ^{2}+ \frac{7}{16} } \right| + c Czy to poprawny wynik?
  • 0

#11 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 853 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 13:06

Nie dostałeś rozkład na ułamki proste i masz obliczyć współczynniki

To dostałeś z postawienia Eulera a gdzie jest ten składnik
który otrzymałeś w metodzie całek stowarzyszonych ?
  • 0

#12 heyhey

heyhey

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 13:11

Nie wiem co mam teraz zrobić
  • 0

#13 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 853 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2011 - 13:44

Nie wiem co mam teraz zrobić


=\int{ \frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2  \cdot \left( -8\right) }{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\int{\frac{2\left( t^2+5t+8\right)\left(2t+5\right)}{\left(4t+10\right)^2}\mbox{d}t}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\int{\frac{t^2+5t+8}{4t+10}\mbox{d}t}<br />

Nie wiesz jak obliczyć współczynniki w rozkładzie na ułamki proste ?
to może spróbuj powyższą całkę przez części dalej policzyć


To może obliczę tę całkę od początku do końca

Najpierw zastosuję pierwsze podstawienie Eulera

\int \sqrt{4x^{2}+10x+8}dx\\<br /> \sqrt{4x^2+10x+8}=t-2x\\<br />4x^2+10x+8=t^2-4xt+4x^2\\<br />10x+8=t^2-4xt\\<br />x \left( 4t+10\right) =t^2-8\\<br />x=\frac{t^2-8}{4t+10}\\<br /> \mbox{d}x = \frac{2t\left( 4t+10\right) - 4\left(t^2-8 \right) }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />  \mbox{d}x=\frac{8t^2+20t - 4t^2+32 }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br /> \mbox{d}x=\frac{4t^2+20t +32 }{\left( 4t+10\right)^2 } \mbox{d}t\\<br />t-2x=\frac{4t^2+10t-2t^2+16}{4t+10}\\<br />t-2x=\frac{2t^2+10t+16}{4t+10}\\<br />=\int{ \frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2  \cdot \left( -8\right) }{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}

Powyższą całkę obliczę przez części a następnie wrócę do poprzedniej zmiennej

=\int{ \frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2  \cdot \left( -8\right) }{\left( 4t+10\right)^3 }  \mbox{d}t}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\int{\frac{2\left( t^2+5t+8\right)\left(2t+5\right)}{\left(4t+10\right)^2}\mbox{d}t}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\int{\frac{t^2+5t+8}{4t+10}\mbox{d}t}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\int{\left(\frac{1}{4}t+\frac{5}{8}\right)\mbox{d}t}+\frac{7}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{4t+10}}\\<br />=\frac{-\left( t^2+5t+8\right)^2}{\left(4t+10\right)^2}+\frac{1}{8}\left(t^2+5t+8\right)+\frac{7}{16}\int{\frac{4\mbox{d}t}{4t+10}}\\<br />=\frac{\left( t^2+5t+8\right)\left(-8t^2-40t-64+\left(4t+10\right)^2\right)}{8\left(4t+10\right)^2}+\frac{7}{16}\ln{|4t+10|}+C\\<br />=\frac{\left( t^2+5t+8\right)\left(-8t^2-40t-64+16t^2+80t+100\right)}{8\left(4t+10\right)^2}+\frac{7}{16}\ln{|4t+10|}+C\\<br />=\frac{\left( t^2+5t+8\right)\left(8t^2+40t-64+100\right)}{8\left(4t+10\right)^2}+\frac{7}{16}\ln{|4t+10|}+C\\<br />=\frac{2\left( t^2+5t+8\right)\left(8\left(t^2-8\right)+10\left(4t+10\right)\right)}{16\left(4t+10\right)^2}+\frac{7}{16}\ln{|4t+10|}+C\\<br />=\frac{1}{16}\left(8x+10\right)\sqrt{4x^2+10x+8}+\frac{7}{16}\ln{|8x+10+4\sqrt{4x^2+10x+8}|}+C\\<br />=\frac{1}{16}\left(8x+10\right)\sqrt{4x^2+10x+8}+\frac{7}{16}\ln{|4x+5+2\sqrt{4x^2+10x+8}|}+C\\<br />=\frac{1}{16}\left(\left(8x+10\right)\sqrt{4x^2+10x+8}+7\ln{|4x+5+2\sqrt{4x^2+10x+8}|}\right)+C<br />
  • 0