Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zasada minimum


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 14:46

Jeżeli zbiór A jest zbiorem niepustym, to istnieje w nim element będący wartością najmniejszą czyli taką która od pozostałych elementów tego zbioru jest mniejsza lub równa.

Opisany dowód zakłada, że niepusty zbiór A nie ma wartości najmniejszej, i wprowadzony jest zbiór B określony na dowolnych liczbach naturalnych n takich, że n\in B oraz dla dla dowolnej liczby naturalnej m takiej że jeśli m \leq n to m\not\in A

Stwierdzenie że 1\in B jest oczywiste, ponieważ w zbiorze liczb naturalnych jest to wartośc najmniejsza , a więc naturalnie należec ona nie może do zbioru A, gdyż przeczyłoby to naszemu założeniu w dowodzie.
Dalej robimy założenie indukcyjne, że n\in B stąd wnioskujemy, że m\not\in A
I tutaj moment w którym nie jestem pewien poprawności swojego rozumowania: jeżeli m jest dowolną liczbą naturalną i n również jest dowolną liczbą naturalną, zatem n+1 również jest dowolną liczbą naturalną, skąd de facto wnioskujemy że n+1 \not\in A, wobec czego n+1\in B Wykazaliśmy w ten sposób, że na mocy dowodu indukcji zupełnej każda liczba naturalna należy do zbioru B czyli B=\mathb{N} Zatem zgodnie z twierdzeniem A=\emptyset Co przeczy założeniu w dowodzie, a więc kończy nasz dowód.

Chciałem tylko, ąby ktoś powiedział czy ew. mój tok rozumowania jest poprawny.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 17:41

Jeżeli zbiór A jest zbiorem niepustym, to istnieje w nim element będący wartością najmniejszą czyli taką która od pozostałych elementów tego zbioru jest mniejsza lub równa.

Opisany dowód zakłada, że niepusty zbiór A nie ma wartości najmniejszej, i wprowadzony jest zbiór B określony na dowolnych liczbach naturalnych n takich, że n\in B oraz dla dla dowolnej liczby naturalnej m takiej że jeśli m \leq n to m\not\in A

Stwierdzenie że 1\in B jest oczywiste, ponieważ w zbiorze liczb naturalnych jest to wartośc najmniejsza , a więc naturalnie należec ona nie może do zbioru A, gdyż przeczyłoby to naszemu założeniu w dowodzie.
Dalej robimy założenie indukcyjne, że n\in B stąd wnioskujemy, że m\not\in A
I tutaj moment w którym nie jestem pewien poprawności swojego rozumowania: jeżeli m jest dowolną liczbą naturalną i n również jest dowolną liczbą naturalną, zatem n+1 również jest dowolną liczbą naturalną, skąd de facto wnioskujemy że n+1 \not\in A, wobec czego n+1\in B Wykazaliśmy w ten sposób, że na mocy dowodu indukcji zupełnej każda liczba naturalna należy do zbioru B czyli B=\mathb{N} Zatem zgodnie z twierdzeniem A=\emptyset Co przeczy założeniu w dowodzie, a więc kończy nasz dowód.

Chciałem tylko, ąby ktoś powiedział czy ew. mój tok rozumowania jest poprawny.



Ja mógłbym uwierzyć w to co napisałeś.
  • 0

#3 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 17:48

Ja mógłbym uwierzyć w to co napisałeś.

Tzn dowód jest z książki, ale moje są opisy i komentarze, bowiem nie jestem pewien czy wsztstkie przejścia rozumiem właściwie.
  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3096 postów
1440
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 18:26

Tzn dowód jest z książki, ale moje są opisy i komentarze, bowiem nie jestem pewien czy wsztstkie przejścia rozumiem właściwie.

Dowód wydaje się poprawny logicznie, chociaż można zauważyć w nim pewne luki.
Zacznijmy, może od treści zasady minimum:
"W każdym niepustym zbiorze A liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza".
Jeżeli  0\in A , to  0 jest najmniejszą liczbą w zbiorze  A.
Zakładamy, że  0 \notin A.
Niech  B = \{n \in N: \bigwedge_{m}[m \in A \rightarrow n < m ]\}
Wówczas  0 \in B . Zbiór B jest ograniczony z góry, bo jako liczbę ograniczającą można wybrać dowolną liczbę ze zbioru  A. Z zasady maksimum wynnika, że w zbiorze  B istnieje największa liczba  n_{0} \in B, a więc  n_{0} + 1 \notin B. Z definicji zbioru  B wynika, że istnieje liczba  m_{0} \in A spełniająca nierówność  m_{0} \leq n_{0} + 1. Z drugiej strony, ponieważ  n_{0} \in B i  m_{0} \in A , więc  n_{0} < m_{0}. czyli  n_{0} + 1 \leq m_{0}. Wobec tego  m_{0} = n_{0} +1, a stąd  n_{0} + 1 \in A. Zauważmy, że  n_{0} +1 jest najmniejszą liczbą zbioru  A. W przeciwnym przypadku istniałą by liczba  k\in A  taka, że  k< n_{0}+1 . Ponieważ  k\in A i  n_{0} \in B , więc  n_{0}< k. Wówczas  n_{0} < k < n_{0} +1, co jest niemozliwe. Zbiór  A ma zatem liczbę najmniejszą.
cnd.
  • 1

#5 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 21:05

Z definicji zbioru  B wynia, że istnieje liczba  m_{0} \in A spełniająca nierówność  m_{0} \leq n_{0} + 1.

Skąd się ta nierównośc wzięła ?
  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3096 postów
1440
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 21:39

Skąd się ta nierównośc wzięła ?

Z określenia zbioru  B.
  • 1

#7 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2011 - 22:00

Z określenia zbioru  B.

Ok, kumam\.
W sumie ten dowód jest o wiele bardziej sensowny od tego w książce...
  • 0