Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

wielowymiarowy rozklad normalny i rodzina eksponencjalna


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 poxer

poxer

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.02.2011 - 16:30

mam maly problem z doprowadzeniem gestosci wielowymiarowego rozkladu normalnego do postaci rodziny wykladniczej, jezeli ktos bylby chetny mi pomoc to bylabym wielce wdzieczna :)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2011 - 19:20

mam maly problem z doprowadzeniem gestosci wielowymiarowego rozkladu normalnego do postaci rodziny wykladniczej, jezeli ktos bylby chetny mi pomoc to bylabym wielce wdzieczna :)

Gęstość wielowymiarowego (n - wymiarowego) rozkładu normalnego:
 f(x) = (2\pi)^{\frac{n}{2}}|\sum|^{-\frac{1}{2}}exp{-\frac{1}{2}(x - \mu )'\sum^{-1}(x - \mu)}
 x\in R^{n}, \ \mu\in R^{n} , \  \sum > 0
Wykażemy, że
 I_{n}= \int_{R^{n}}exp{it'x}f(x)dx = \int_{R^{n}}e^{-t'(x-\mu}(2\pi)^{\frac{n}{2}}|\sum|^{-\frac{1}{2}}exp{-\frac{1}{2}(x - \mu )'\sum^{-1}(x - \mu)}dx =  exp{ it'\mu -\frac{1}{2}t'\sum t}
W całce dokonamy zamiany zmiennych:
x - \mu = Cu, \ t = Cv ,
gdzie
 C jest macierzą ortogonalną, dla której
 C'\sum C = D
 D = \left \[ \begin{array}{cc}d_{1}&...&0\\... & ...& ...\\0 & ... &  d_{n} \end{array} \right \].
jest macierzą diagonalną z  d_{i} \geq 0, \ i =1,2,...,n.
Ponieważ  |\sum^{-1} | \neq 0, więc  d_{i} >0 , \ i = 1,2,..., n.
Mamy
 it'(x -\mu) -\frac{1}{2}(x -\mu)'\sum^{-1}(x - mu) = iv'C'Cu - \frac{1}{2}u'C'\sum^{-1}Cu = iv'u -\frac{1}{2}u'D^{-1}u.
 I_{n} = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}(d_{1}...d_{n})^{\frac{1}{2}}}\int_{R^{n}}exp{iv'u -\frac{1}{2}D^{-1}u}dx = \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{(2\pi d_{k})^{\frac{1}{2}}}\int_{-\infty}^{\infty}exp{iv_{k}u_{k}-\frac{u_{k}^{2}}{2d_{k}}}du_{k} = \prod_{k=1}^{n} exp{-\frac{u_{k}d_{k}}{2}} = exp{-\frac{1}{2}v'Dv} = exp{-\frac{1}{2}v'C'\sum Cv}= exp{-\frac{1}{2}t'\sum t }.
  • 0

#3 poxer

poxer

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.02.2011 - 20:12

hmm .... chodzilo mi o rozwiazanie na wzor rozwiazan z ksiazki Bishop 'machine translation and pattern recognition'
gdzie dystrybucja nalezy do rodziny wykladniczej jezeli gestosc mozna doprowadzic do postaci :

Dołączona grafika

in gdyby macierz kowariancji wielowymiarowego rozkladu normalnego byla macierza jednostkowa, wtedy gestosc :

Dołączona grafika

i z parametrami :

Dołączona grafika

jest w formie dystrybucji z rodziny wykladniczej...

tylko sie gubie w przeksztalceniach...
  • 0