Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Macierz do potęgi n


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 lolasek

lolasek

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.02.2011 - 15:24

Witam,

mam maly problem z rozwiazaniem zadania

Zad:
Obliczyć: \left[\begin{array}{ccc}2&6\\1&7\end{array}\right]^n dla n należącego do N


za kazda pomoc bylbym wdzieczny :)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 860 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2011 - 22:19

Ja bym poddał tę macierz diagonalizacji
(wartości i wektory własne)

A^{n}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}6+8^n&-6+6 \cdot 8^n\\-1+8^n&1+6 \cdot 8^n\end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix}2&6\\1&7\end{bmatrix}

Obliczmy wartości własne

\det{\begin{bmatrix}2-\lambda&6\\1&7-\lambda\end{bmatrix}}=0\\<br />\\\left(2-\lambda\right)\left(7-\lambda\right)-6=0\\<br />\\14-9\lambda+\lambda^2-6=0\\<br />\\\lambda^2-9\lambda+8=0\\<br />\\\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-8\right)=0\\<br />\\

Obliczmy wektory własne dla kolejnych wartości własnych
(będą to kolejne kolumny macierzy przejścia)

\begin{bmatrix}1&6\\1&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

x_{1}+6x_{2}=0\\<br />\\x_{1}=-6x_{2}\\<br />\\x=x_{2}\begin{bmatrix}-6\\1\end{bmatrix}<br />\\

\begin{bmatrix}-6&6\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

x_{1}-x_{2}=0\\<br />\\x_{2}=x_{1}<br />\\x=x_{2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}<br />\\

Nasza macierz przejścia ma postać

P=\begin{bmatrix}-6&1\\1&1\end{bmatrix}

Obliczmy teraz macierz odwrotną do macierzy przejścia

\begin{bmatrix}-6&1&1&0\\1&1&0&1\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}-6&1&1&0\\6&6&0&6\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}-6&1&1&0\\0&7&1&6\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}-42&7&7&0\\0&7&1&6\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}-42&0&6&-6\\0&7&1&6\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}7&0&-1&1\\0&7&1&6\end{bmatrix}\\<br />\\

P^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{6}{7}\end{bmatrix}

A=P\Delta P^{-1}\\<br />\\A^{n}=P\Delta^{n}P^{-1}<br />\\

\begin{bmatrix}2&6\\1&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{6}{7}\end{bmatrix}\\<br />\\\begin{bmatrix}2&6\\1&7\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}-6&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&8^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{6}{7}\end{bmatrix}<br />\\

Teraz wystarczy tylko te macierze wymnożyć
(każdy element iloczynu macierzy jest iloczynem skalarnym odpowiedniego wiersza jednej macierzy i odpowiedniej kolumny drugiej macierzy)
  • 0