Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

równanie różniczkowe drugiego rzędu


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 fajnyrobak

fajnyrobak

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.01.2011 - 02:14

Czy mogę prosić o rozwiązanie równania y''-y=2e^x-x^2 ?
Wiem, że równanie charakterystyczne posiada dwa pierwiastki 1 oraz -1. Największy problem mam już z ustaleniem całki ogólnej i przewidywanej postaci całki szczególnej (mam słabo opanowaną metodę przewidywań). Nie mogę dalej ruszyć. Proszę o pomoc.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.01.2011 - 10:34

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne.
Jeśli -1 i 1 są pierwiastkami równania charakterystycznego to rozwiązanie równania jednorodnego będzie postaci
y(x)=c_1 exp{-x}+c_2 exp{x}
2. Rozwiązujemy równanie niejednorodne
y''-y=2 exp{x}-x^2\\
dla 2 exp{x} przewidywanym rozwiazaniem będzie  \varphi (x)=Ax exp{x}
\varphi '(x)=A exp{x} (1+x)\\<br />\\\varphi ''(x)=A exp{x} (2+x)\\<br />\\A exp{x} (2+x)-Ax exp{x}= 2 exp{x}\Rightarrow A=1
czyli  \varphi (x)=x exp{x}
dla x^2 przewidywanym rozwiązaniem jest \psi (x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D
\psi '(x)=3Ax^2+2Bx+C\\<br />\\\psi ''(x)=6Ax+2B\\<br />\\6Ax+2B-Ax^3-Bx^2-Cx-D=x^2\Rightarrow A=C=0,B=-1,D=-2<br />\\
\psi (x)=-x^2-2
Rozwiązanie równania niejednorodnego:
y(x)=c_1 exp{-x}+c_2 exp{x}+x exp{x}-(-x^2-2)
  • 0





Tematy podobne do: równanie różniczkowe drugiego rzędu     x