Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Równanie różniczkowe niejednorodne drugiego rzędu , metoda przewidywania


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.12.2010 - 21:07

Niech dane będzie równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu

y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=g\left(x\right)

gdzie p=const \wedge q=const

a funkcja g\left(x\right)

będzie postaci \left(\left(a_{l}x^{l}+a_{l-1}x^{l-1}+\cdots +a_{0}\right)\cos{\beta x}+\left(a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{0}\right)\sin{\beta x}\right)e^{\alpha x}

Jeżeli liczba \alpha+i\beta jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego to
przewidujemy rozwiązanie postaci

y=C_{1}f_{1}\left(x\right)+C_{2}f_{2}\left(x\right)+x^{k}\left(\left(A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{0}\right)\cos{\beta x}+\left(B_{n}x^{n}+B_{n-1}x^{n-1}+\cdots +B_{0}\right)\sin{\beta x}\right)e^{\alpha x}

gdzie funkcje f_{1}\left(x\right),f_{2}\left(x\right)
tworzą układ fundamentalny równania różniczkowego jednorodnego oraz
n=\max{\left(l,m\right)}


Przykład

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=2\cos{x}+sin{x}

\lambda^2-2\lambda+2=0\\<br />\\\left(\lambda-1\right)^2+1=0\\<br />\\\left(\lambda-1-i\right)\left(\lambda-1+i\right)=0\\<br />\\

Rozwiązaniem równania jednorodnego jest

y=C_{1}e^{x}\cos{x}+C_{2}e^{x}\sin{x}

Ponieważ \lambda=i
nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego
więc przewidujemy rozwiązanie postaci

y=C_{1}e^{x}\cos{x}+C_{2}e^{x}\sin{x}+A\cos{x}+B\sin{x}\\<br />\\y=e^{x}\left(C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}\right)+A\cos{x}+B\sin{x}\\<br />\\y^{\prime}=e^{x}\left(C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}-C_{1}\sin{x}+C_{2}\cos{x}\right)-A\sin{x}+B\cos{x}\\<br />\\y^{\prime}=e^{x}\left(\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos{x}+\left(C_{2}-C_{1}\right)\sin{x}\right)-A\sin{x}+B\cos{x}\\<br />\\y^{\prime\prime}=e^{x}\left(\left(C_{1}+C_{2}+C_{2}-C_{1}\right)\cos{x}+\left(C_{2}-C_{1}-C_{1}-C_{2}\right)\sin{x}\right)-A\cos{x}-B\sin{x}\\<br />\\y^{\prime\prime}=e^{x}\left(2C_{2}\cos{x}-2C_{1}\sin{x}\right)-A\cos{x}-B\sin{x}\\<br />\\y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=e^{x}\left(\left(2C_{2}-2C_{1}-2C_{2}+2C_{1}\right)\cos{x}+\left(-2C_{1}-2C_{2}+2C_{1}+2C_{2}\right)\sin{x}\right)-A\cos{x}-B\sin{x}+2A\sin{x}-2B\cos{x}+2A\cos{x}+2B\sin{x}<br />\\\begin{cases} -A-2B+2A=2\\-B+2A+2B=1\end{cases}\\<br />\\\begin{cases} A-2B=2\\2A+B=1\end{cases}\\<br />\\\begin{cases} A-2B=2\\4A+2B=2\end{cases}\\<br />\\\begin{cases} 5A=4\\B=1-2A\end{cases}\\<br />\\\begin{cases} A=\frac{4}{5}\\B=-\frac{3}{5}\end{cases}\\<br />\\

a zatem rozwiązaniem równania niejednorodnego jest

y=C_{1}e^{x}\cos{x}+C_{2}e^{x}\sin{x}+\frac{4}{5}\cos{x}-\frac{3}{5}\sin{x}
  • 1

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55