Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Równanie różniczkowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.12.2010 - 03:15

Równanie różniczkowe postaci

y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0

gdzie p=const \wedge q=const

nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Podstawiając do równania różniczkowego

y=e^{\lambda x}

otrzymujemy równanie charakterystyczne równania różniczkowego o stałych współczynnikach

\lambda^{2}e^{\lambda x}+p\lambda e^{\lambda x}+qe^{\lambda x}=0\\<br />\\\lambda^{2}+p\lambda+q=0<br />\\

Jeżeli p^2-4q>0 to
rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu o stałych współczynnikach jest

y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}

Jeżeli p^2-4q=0 to
rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu o stałych współczynnikach jest

y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}xe^{\lambda_{1}x}

Jeżeli p^2-4q<0 to
rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu o stałych współczynnikach jest

y=C_{1}e^{\Re{\lambda_{1}}x}\cos{\Im{\lambda_{1}}x}+C_{2}e^{\Re{\lambda_{1}}x}\sin{\Im{\lambda_{1}}x}


Przykłady

1.

y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0

\lambda^2-5\lambda+6=0\\<br />\\\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right)=0<br />\\

a zatem rozwiązaniem równania różniczkowego jest

y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}

2.

y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0

\lambda^{2}+2\lambda+1=0\\<br />\\\left(\lambda+1\right)^2=0<br />\\

a zatem rozwiązaniem równania różniczkowego jest

y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}

3.

y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+10y=0

\lambda^2+6\lambda+10=0\\<br />\\\left(\lambda+3\right)^2+1=0\\<br />\\\left(\lambda+3-i\right)\left(\lambda+3+i\right)<br />\\

a zatem rozwiązaniem równania różniczkowego jest

y=C_{1}e^{-3x}\cos{x}+C_{2}e^{-3x}\sin{x}
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55