Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Równanie różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równania pierwszego rzędu


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.12.2010 - 14:46

Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci

y^{\prime\prime}=f\left(x,y^{\prime}\right)

przez zamianę zmiennych u=y^{\prime}

sprowadza się do równania różniczkowego pierwszego rzędu

u^{\prime}=f\left(x,u\right)

Przykład

y^{\prime\prime}=-y^{\prime}\tan{x}+sin{2x}\\<br />\\u=y^{\prime}\\<br />\\u^{\prime}=-u\tan{x}+\sin{2x}\\<br />\\u^{\prime}+u\tan{x}=\sin{2x}<br />\\

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
(w tym przypadku równanie różniczkowe liniowe niejednorodne pierwszego rzędu)

Rozwiązujemy równanie jednorodne rozdzielając zmienne

u^{\prime}+u\tan{x}=0\\<br />\\u^{\prime}=-u\tan{x}\\<br />\\\frac{u^{\prime}}{u}=\frac{-\sin{x}}{\cos{x}}\\<br />\\\frac{\mbox{d}u}{u}=\frac{-\sin{x}}{\cos{x}}\mbox{d}x\\<br />\\\ln{|u|}=\ln{C\cos{x}}\\<br />\\u=C\cos{x}<br />\\



Rozwiązujemy równanie niejednorodne uzmienniając stałą

u=C\left(x\right)\cos{x}\\<br />\\C^{\prime}\left(x\right)\cos{x}-C\left(x\right)\sin{x}+C\left(x\right)\cos{x}\tan{x}=\sin{2x}\\<br />\\C^{\prime}\left(x\right)\cos{x}=2\sin{x}\cos{x}\\<br />\\C^{\prime}\left(x\right)=2\sin{x}\\<br />\\C\left(x\right)=-2\cos{x}+C\\<br />\\u=-2\cos^{2}{x}+C\cos{x}\\<br />\\u=-\left(1+\cos{2x}\right)+C\cos{x}\\<br />\\y^{\prime}=-\left(1+\cos{2x}\right)+C\cos{x}\\<br />\\\mbox{d}y=\left(-\left(1+\cos{2x}\right)+C\cos{x}\right)\mbox{d}x\\<br />\\y=-x-\frac{1}{2}\sin{2x}+C_{1}\sin{x}+C_{2}<br />\\

Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci

y^{\prime\prime}=f\left(y,y^{\prime}\right)


przez zamianę zmiennych y^{\prime}=u\left(y\right)

sprowadza się do równania różniczkowego pierwszego rzędu

uu^{\prime}=f\left(y,u\right)


Przykład

yy^{\prime\prime}=y^{\prime}\left(a+y^{\prime}\right)\\<br />\\y^{\prime}=u\left(y\right)\\<br />\\y^{\prime\prime}=u^{\prime}y^{\prime}\\<br />\\y^{\prime\prime}=u^{\prime}u\\<br />\\yuu^{\prime}=u\left(a+u\right)\\<br />\\yu^{\prime}=a+u<br />\\

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
(w tym przypadku równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)

yu^{\prime}=a+u\\<br />\\\frac{yu^{\prime}}{a+u}=1\\<br />\\\frac{u^{\prime}}{a+u}=\frac{1}{y}\\<br />\\\frac{\mbox{d}u}{a+u}=\frac{\mbox{d}y}{y}\\<br />\\\ln{a+u}=\ln{|Cy|}\\<br />\\a+u=Cy\\<br />\\u=Cy-a\\<br />\\y^{\prime}=Cy-a<br />\\

Znowu otrzymaliśmy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

y^{\prime}=C_{1}y-a\\<br />\\\frac{y^{\prime}}{C_{1}y-a}=1\\<br />\\\frac{\mbox{d}y}{C_{1}y-a}=\mbox{d}x\\<br />\\\frac{C_{1}\mbox{d}y}{C_{1}y-a}=C\mbox{d}x\\<br />\\\ln{|C_{1}y-a|}=C_{1}x+\ln{|C_{2}|}\\<br />\\C_{1}y-a=C_{2}e^{C_{1}x}\\<br />\\y=\frac{1}{C_{1}}\left(a+C_{2}e^{C_{1}x}\right)<br />\\

Użytkownik Mariusz M edytował ten post 06.02.2012 - 06:33

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55