Na początku przypomnijmy jak zdefiniowana jest różniczka zupełna
Jeżeli równanie różniczkowe można zapisać w postaci
oraz zachodzi równość pochodnych cząstkowych
to równanie
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym
Mamy następujące równości
Weźmy najpierw równość
Całkując ją względem x otrzymujemy
Funkcję wyznaczamy korzystając z równości
Przykład
Sprawdzamy czy zachodzi równość pochodnych cząstkowych
Z powyższego wynika że zachodzi równość pochodnych cząstkowych więc równanie jest zupełne
Wyznaczmy funkcję
Zatem rozwiązaniem równania różniczkowego
jest
Czynnik całkujący
Mamy równanie różniczkowe postaci
ale nie zachodzi równość pochodnych cząstkowych
więc zgodnie z tym co wcześniej napisałem nie jest to równanie różniczkowe zupełne
Możemy jednak poszukać takiej funkcji przez którą należy pomnożyć równanie
aby równość pochodnych cząstkowych zachodziła
Funkcję tą nazywamy czynnikiem całkującym
Czynnik całkujący zależny od jednej zmiennej
Czynnik zależny od x wyznaczamy w ten sposób
Czynnik zależny od y wyznaczamy w ten sposób
Jeżeli jednak czynnik całkujący nie jest zależny od jednej zmiennej to
możemy poszukać czynnika całkującego będącego iloczynem funkcji zależnej od x
i funkcji zależnej od y
===================
====================
Przykłady
Sprawdzamy czy zachodzi równość pochodnych cząstkowych
Z powyższego wynika że równość pochodnych cząstkowych nie zachodzi zatem
równanie różniczkowe nie jest zupełne
Gdy przyjrzymy się funkcjom oraz
oraz pochodnym cząstkowym
to zauważymy że czynnik całkujący zależy tylko od zmiennej x
Po przemnożeniu równania różniczkowego przez czynnik całkujący otrzymujemy równanie
Sprawdzamy czy rzeczywiście zachodzi równość pochodnych cząstkowych
(Jeżeli poprawnie wyznaczyliśmy czynnik całkujący to równość ta powinna zachodzić)
Równość pochodnych cząstkowych zachodzi więc równanie jest już zupełne
Wyznaczmy teraz funkcję
Zatem rozwiązaniem równania różniczkowego
jest
Sprawdzamy czy zachodzi równość pochodnych cząstkowych
Równość pochodnych cząstkowych nie zachodzi więc równanie różniczkowe nie jest zupełne
Tutaj szukamy czynnika całkującego będącego iloczynem funkcji zależnych od jednej zmiennej
Wyznaczmy teraz funkcje oraz
Po przemnożeniu równania różniczkowego przez czynnik całkujący otrzymujemy równanie
Sprawdzamy czy zachodzi równość pochodnych cząstkowych
(Jeżeli poprawnie wyznaczyliśmy czynnik całkujący to równość ta powinna zachodzić)
Równość pochodnych cząstkowych zachodzi więc równanie jest zupełne
Wyznaczmy teraz funkcję
Zatem rozwiązaniem równania różniczkowego
jest
Użytkownik bb314 edytował ten post 09.04.2014 - 19:26