Skocz do zawartości


Zdjęcie

Granica ciągu rekurencyjnego.


Ten temat został zarchiwizowany. Nie można odpowiadać w tym temacie.
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Vianne

Vianne

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 824 postów
194
Pomocnik II

Napisano 09.12.2010 - 12:30

Mam ciąg  a_1=\sqrt[k]{5}, a_{n+1}=\sqrt[k]{5a_n}

Mam obliczyć granicę. Na początku muszę sprawdzić monotoniczność.

Ale nie wiem jak to oszacować. Wzięłam sobie różnicę.

 a_{n+1}-a_{n}=\sqrt[k]{5a_n}-\sqrt[k]{5a_{n-1}} nie wiem co z tym zrobić...

Wiem na pewno, że wyrazy tego ciągu będą dodatnie, czyli jakieś ograniczenie z dołu jest.

A potem hipotetycznie zakładając, że on jest monotoniczny i ograniczony trzeba policzyć granicę.

 g=\sqrt[k]{5g}\\g^k=5g\\g=0 \vee g^{k-1}=5

I nic mi to nie mówi :champagne:
Jeśli pomogłam kliknij -->Dołączona grafika

"Zobaczyć świat w ziarenku piasku,
Niebiosa w jednym kwiecie lasu.
W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar,
w godzinie - nieskończoność czasu."

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3185 postów
1015
Starszy Wykładowca I

Napisano 09.12.2010 - 17:31

Ciąg jest oczywiście rosnący - liczba pod pierwiastkiem ciągle rośnie, więc siłą rzeczy kolejne wyrazy są coraz większe. A dowód może być przez indukcję. Chcemy udowodnić, że a_n<a_{n+1}. Dla n=1 mamy \sqrt[k]{5}<\sqrt[k]{5\cdot \sqrt[k]{5}}\qquad\Rightarrow\qquad 5<5\sqrt[k]{5}\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt[k]{5}>1, co jest oczywiście prawdą. Dalej mamy:

a_{n+2}=\sqrt[k]{5a_{n+1}}>\sqrt[k]{5a_n}=a_{n+1}

Teraz ograniczoność. Warto zauważyć, że każdy wyraz będzie zawsze większy od jedynki. Dowód, znowu indukcyjnie. a_1=\sqrt[k]{5}>1. Zakładamy, że a_n>1 i dalej mamy: a_{n+1}=\sqrt[k]{5a_n}>\sqrt[k]{5}=a_1>1.

Wracając do granicy możesz już od razu odrzucić rozwiązanie g=0, bo przecież wykazaliśmy, że ciąg jest ograniczony od dołu przez jedynkę. Dlatego też otrzymujemy, że g=\sqrt[k-1]{5} :)
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 1889 postów
875
Wykładowca III

Napisano 09.12.2010 - 19:34

Jak pokazaliśmy że ciąg jest rosnący, to warto by było ograniczyć go od góry, nie od dołu :P

#4 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3185 postów
1015
Starszy Wykładowca I

Napisano 09.12.2010 - 19:41

O rany ... kurcze, dla mnie teraz zagadką jest dlaczego przez całą drugą część zadania przyjmowałem, że ciąg jest malejący. Teraz jest jeszcze łatwiej. Skoro ciąg jest rosnący i wyrazy są większe od zera, oczywistym jest że g=0 odpada od razu. I teraz, skoro mamy granicę g=\sqrt[k-1]{5}, to możemy sprawdzić, że ogranicza podany ciąg z góry:

a_1=\sqrt[k]{5}<\sqrt[k-1]{5}

a_{n+1}=\sqrt[k]{5a_n}<\sqrt[k]{5\cdot \sqrt[k-1]{5}}=\sqrt[k-1]{5}

:)
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=





Tematy podobne do: Granica ciągu rekurencyjnego.     x


Partnerem technologicznym jest dhosting.pl      Współpracują z nami     PortalMatematyczny.pl