Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
* * * * - 2 głosy

Równania wielomianowe drugiego, trzeciego i czwartego stopnia


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.12.2010 - 23:38

*
Najwyższa ocena

Równanie kwadratowe

W szkole rozwiązywaliśmy takie równania korzystając z wyróżnika. Ja jednak na początek proponuję trochę inne podejście. Potrzebne nam będą wzory skróconego mnożenia (kwadrat sumy i różnica kwadratów) oraz umiejętność przekształcania równań (wiemy przecież że cokolwiek dodajemy do jednej strony równania musimy dodać również do drugiej strony równania)

Przypomnę teraz wzory skróconego mnożenia z których będziemy korzystać

\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\\<br />a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)

Rozłóżmy teraz trójmian kwadratowy na czynniki

a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0\\<br />x^2+\frac{a_{1}}{a_{2}}x+\frac{a_{0}}{a_{2}}=0\\<br />x^2+\frac{a_{1}}{a_{2}}x=-\frac{a_{0}}{a_{2}}\\<br />x^2+2\frac{a_{1}}{2a_{2}}x=-\frac{a_{0}}{a_{2}}\\<br />x^2+2\frac{a_{1}}{2a_{2}}x+\frac{a_{1}^{2}}{4a_{2}^{2}}=-\frac{a_{0}}{a_{2}}+\frac{a_{1}^{2}}{4a_{2}^{2}}\\<br />\left(x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}\right)^{2}=\frac{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}{4a_{2}^{2}}\\<br />\left(x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}-\frac{\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}\right)\left(x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}+\frac{\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}\right)=0\\<br />\left(x+\frac{a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}\right)\left(x+\frac{a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}\right)=0<br />


Równanie trzeciego stopnia

Do rozwiązania równania trzeciego stopnia potrzebne są dwa podstawienia, podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych (w tym wzory de Moivre), umiejętność rozwiązania równania kwadratowego. Wzory Viete'a i twierdzenie Bezout są opcjonalne.

Przypomnę teraz wzory Viete'a dla równania kwadratowego
ponieważ będą przydatne przy tym podstawieniu którego używam
\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{a_{1}}{a_{2}}\\x_{1}x_{2}=\frac{a_{0}}{a_{2}}\end{cases}


Spróbujmy znaleźć pierwiastki równania trzeciego stopnia

a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0\\<br />x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\<br />a_{3}\left(y^3-3\frac{a_{2}}{3a_{3}}y^2+3\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}y-\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^3} \right)+a_{2}\left(y-2\frac{a_{2}}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}\right)+a_{1}\left(y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)+a_{0}=0\\<br />a_{3}y^3+a_{2}y^2+\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^2}+a_{2}y-2\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{9a_{3}^2}+a_{1}y-\frac{a_{2}a_{1}}{3a_{3}}+a_{0}=0\\<br />a_{3}y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^2}=0\\<br />y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}^2}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^3}=0\\<br />y^3+py+q=0<br />

Teraz mamy do dyspozycji jedno z dwóch podstawień

y=u+v

y=u-\frac{p}{3u}

Podstawienie y=u+v sprowadzi równanie trzeciego stopnia do wzorów Viete'a równania kwadratowego. Korzystając ze wzorów Viete'a układamy równanie kwadratowe i rozwiązujemy je.

Podstawienie y=u-\frac{p}{3u} sprowadzi równanie trzeciego stopnia od razu do równania kwadratowego, ale trzeba wziąć niezerowy pierwiastek równania kwadratowego. Gdy równanie kwadratowe ma oba pierwiastki zerowe to wyjściowe równanie trzeciego stopnia jest pełnym sześcianem.


Zajmijmy się pierwszym podstawieniem

y^3+py+q=0\\<br />\left(u+v\right)^3+p\left(u+v\right)+q=0\\<br />u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p\left(u+v\right)+q=0\\<br />u^3+v^3+q+3\left(u+v\right)\left(uv+\frac{p}{3}\right)=0\\<br />\begin{cases}u^3+v^3+q=0 \\ \left(uv+\frac{p}{3}\right)=0\end{cases}\\<br />\begin{cases}u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3}\end{cases}\\<br />\begin{cases}u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27}\end{cases}\\<br />

Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego

t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0\\<br />\Delta=q^2+4\frac{p^3}{27}\\<br />t_{1}=\frac{-q-\sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2}\\<br />t_{2}=\frac{-q+\sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2}\\<br />t_{1}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\\<br />t_{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\\<br />

Niech \varepsilon=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
będzie pierwiastkiem trzeciego stopnia z jedynki wówczas

x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\<br />x_{2}=\varepsilon \cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\varepsilon^2 \cdot\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\<br />x_{3}=\varepsilon^2 \cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\varepsilon \cdot\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\<br />


Równanie czwartego stopnia

Ja znam dwa pomysły na równanie czwartego stopnia. Pierwszy z nich jest modyfikacją tego który przedstawiłem przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych, a drugi jest modyfikacją tego który przedstawiłem przy okazji rozwiązywania równań trzeciego stopnia.

Rozkład na czynniki kwadratowe (wg Sierpińskiego jest to metoda Ferrariego)
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania. Uzupełniamy lewą stronę równania do kwadratu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Prawa strona równania będzie pełnym kwadratem gdy jej wyróżnik będzie równy zero. Aby sprawdzić kiedy wyróżnik prawej strony będzie równy zero wprowadzamy nową zmienną tak aby lewa strona równania nadal była pełnym kwadratem (dodajemy stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy). Przyrównując wyróżnik do zera dostajemy równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej zmiennej. Rozwiązujemy równanie trzeciego stopnia i wybieramy tylko jeden pierwiastek tego równania. Gdy obie strony będą pełnymi kwadratami stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0\\<br />x^4+a_{3}x^3=-a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}\\<br />x^4+2\frac{a_{3}}{2}x^3+\frac{a_{3}^2}{4}x^2=\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}x^2-a_{1}x-a_{0}\\<br />\left(x^2+\frac{a_{3}}{2}x\right)^2=\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}x^2-a_{1}x-a_{0}\\<br />\left(x^2+\frac{a_{3}}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2=\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}\right)x^2+\left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}\right)x+\frac{y^2}{4}-a_{0}\\<br />\left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}\right)^2=\left(y^2-4a_{0}\right)\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}\right)\\<br />\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{3}a_{1}y+a_{1}^2=y^3+\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{2}y^2-4a_{0}y-a_{3}^2a_{0}+4a_{2}a_{0}\\<br />y^3-a_{2}y^2+\left(a_{3}a_{1}-4a_{0\right)y-a_{3}^2a_{0}+4a_{2}a_{0}-a_{1}^2=0<br />


<br />\left(x^2+\frac{a_{3}}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2=\left(\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}x+\frac{\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}}{2\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}}\right)^2\\<br />\left(x^2+\frac{a_{3}}{2}x+\frac{y}{2}-\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}x-\frac{\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}}{2\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}}\right)<br />\left(x^2+\frac{a_{3}}{2}x+\frac{y}{2}+\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}x+\frac{\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}}{2\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}}\right)=0\\<br /><br />\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2}-\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}\right)x+\frac{y}{2}-\frac{\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}}{2\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}}\right)<br />\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2}+\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}\right)x+\frac{y}{2}+\frac{\frac{a_{3}}{2}y-a_{1}}{2\sqrt{y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4}}}\right)=0\\<br />


Jeżeli mamy równanie czwartego stopnia postaci

x^4+px^2+qx+r=0

to rozkładu na czynniki kwadratowe możemy dokonać jeszcze w nieco inny sposób
to jest mnożąc dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej i porównując współczynniki

\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=x^4+px^2+qx+r\\<br />x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd=x^4+px^2+qx+r\\<br />x^4+\left(a+c\right)x^3+\left(b+d+ac\right)x^2+\left(bc+ad\right)x+bd=x^4+px^2+qx+r<br />

<br />\begin{cases} a+c=0\\<br />b+d+ac=p\\<br />bc+ad=q\\<br />bd=r<br />\end{cases}\\<br /><br />\begin{cases} a+c=0\\<br />b+d-a^2=p\\<br />-ab+ad=q\\<br />4bd=4r<br />\end{cases}\\<br /><br />\begin{cases} a+c=0\\<br />b+d=p+a^2\\<br />b-d=-\frac{q}{a}\\<br />4bd=4r<br />\end{cases}\\<br /><br />\begin{cases} a+c=0\\<br />b+d=p+a^2\\<br />2b=p+a^2-\frac{q}{a}\\<br />2d=p+a^2+\frac{q}{a}\\<br />4bd=4r<br />\end{cases}\\<br /><br />\begin{cases} a+c=0\\<br />b+d=p+a^2\\<br />2b=p+a^2-\frac{q}{a}\\<br />2d=p+a^2+\frac{q}{a}\\<br />\left(p+a^2-\frac{q}{a}\right)\left(p+a^2+\frac{q}{a}\right)=4r\\<br />\end{cases}\\<br /><br />p^2+2pa^2+a^4-\frac{q^2}{a^2}=4r\\<br />a^6+2pa^4+\left(p^2-4r\right)a^2-q^2=0<br />

Wyprowadzenie tej drugiej metody zostawiam jako "zadanie domowe". Jako podpowiedź dodam że jest ona bardzo podobna do tej znanej z rozwiązywania rownań trzeciego stopnia.

Po dokonaniu podstawień (podobnych do tych co w metodzie Fontany dla równań trzeciego stopnia)
powinniśmy dostać wzory Viete'a równania trzeciego stopnia


Spróbujmy do rozwiązywania równań czwartego stopnia podejść jeszcze z nieco innej strony


x^4-s_{1}x^{3}+s_{2}x^{2}-s_{3}x+s_{4}=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\left(x-x_{4}\right)<br />

Skonstruujmy wielomian szóstego stopnia którego pierwiastkami są sumy dwóch pierwiastków wyjściowego równania

\left(t-\left(x_{1}+x_{2}\right)\right)\left(t-\left(x_{3}+x_{4}\right)\right)\left(t-\left(x_{1}+x_{3}\right)\right)\left(t-\left(x_{2}+x_{4}\right)\right)\left(t-\left(x_{1}+x_{4}\right)\right)\left(t-\left(x_{2}+x_{3}\right)\right)\\<br />=\left(t^{2}-s_{1}t+\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{3}+x_{4}\right)\right)\left(t^{2}-s_{1}t+\left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right)\right)\left(t^{2}-s_{1}t+\left(x_{1}+x_{4}\right)\left(x_{2}+x_{3}\right)\right)<br />

Skonstruujmy teraz jedno z dwóch równań trzeciego stopnia

\left(u-\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{3}+x_{4}\right)\right)\left(u-\left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right)\right)\left(u-\left(x_{1}+x_{4}\right)\left(x_{2}+x_{3}\right)\right)=0\\<br />\left(v-\left(x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\right)\right)\left(v-\left(x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\right)\right)\left(v-\left(x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\right)\right)=0<br />

u^{3}-2s_{2}u^2+\left(s_{2}^2+s_{1}s_{3}-4s_{4}\right)u-\left(s_{1}s_{2}s_{3}-s_{1}^2s_{4}-s_{3}^{2}\right)=0\\<br />v^{3}-s_{2}v^{2}+\left(s_{1}s_{3}-4s_{4}\right)v-\left(s_{1}^2s_{4}-4s_{2}s_{4}+s_{3}^2\right)=0<br />

Współczynniki powyższych równań powinniśmy otrzymać za pomocą funkcji symetrycznych

<br />t_{1}=x_{1}+x_{2}\\<br />t_{2}=x_{3}+x_{4}\\<br />t_{3}=x_{1}+x_{3}\\<br />t_{4}=x_{2}+x_{4}\\<br />t_{5}=x_{1}+x_{4}\\<br />t_{6}=x_{2}+x_{3}<br />

<br />t_{1}+t_{3}+t_{5}=2x_{1}+s_{1}\\<br />t_{1}+t_{4}+t_{6}=2x_{2}+s_{1}\\<br />t_{2}+t_{3}+t_{6}=2x_{3}+s_{1}\\<br />t_{2}+t_{4}+t_{5}=2x_{4}+s_{1}\\<br />


No i nie wiem dlaczego Niccolo Fontana vel Tartaglia stchórzył, przecież miał szanse w meczu z Lodovico Ferrari ponieważ jego metoda rozwiązywania równań trzeciego stopnia nadawała się po drobnych modyfikacjach także do rozwiązywania równań czwartego stopnia (może dlatego że wówczas niechętnie używano liczb ujemnych, dlatego było tyle uważanych za różne postaci równań trzeciego i czwartego stopnia).

Podsumowanie

Pokazałem dwie metody które działają na równania wielomianowe drugiego trzeciego i czwartego stopnia
Pierwsza metoda to uzupełnianie do kwadratu bądź sześcianu
Uzupełnianie do sześcianu wygląda mniej więcej tak

y^3+py+q=0\\<br />y^3=-py-q\\<br />y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-py-q\\<br />\left(y+z\right)^3=y\left(3yz+3z^2-p\right)+z^3-q\\<br />3yz+3z^2-p=0\\<br />3yz+3z^2=p\\<br />3z\left(y+z\right)=p\\<br />y+z=\frac{p}{3z}\\<br />\frac{p^3}{27z^3}=z^3-q\\<br />z^6-qz^3-\frac{p^3}{27}=0\\<br />

Druga metoda to metoda funkcji symetrycznych

Dla równania kwadratowego wychodzimy z układu równań

\begin{cases}x_{1}-x_{2}=u_{1}\\x_{1}+x_{2}=-a_{1}\end{cases}

Zauważmy że u_{1}^2 jest funkcją symetryczną
Wyrażamy więc ją najpierw za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a następnie korzystając ze wzorów Viete za pomocą
współczyników wielomianu a nie na odwrót
jak niektórzy
by chcieli

u_{1}^2=\tau_{1}^2-2\tau_{2}-2\tau_{2}\\<br />u_{1}^2=\tau_{1}^2-4\tau_{2}\\<br />u_{1}^2=a_{1}^2-4a_{0}\\<br />

Mamy więc układ równań

\begin{cases}x_{1}-x_{2}=\sqrt{a_{1}^2-4a_{0}}\\x_{1}+x_{2}=-a_{1}\end{cases}

Dla równania trzeciego stopnia wychodzimy z układu równań

\begin{cases}x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1}\\x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a_{2}\end{cases}
gdzie \begin{cases}\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0\\\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1\end{cases}

Okazuje się że współczynniki równania \left(z-u_{1}\right)\left(z-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left(z-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left(z-u_{2}\right)\left(z-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left(z-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0
są wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania trzeciego stopnia i mogą być wyrażone przez współczynniki tegoż równania

Dla równania czwartego stopnia wychodzimy z układu równań

\begin{cases}x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=u_{1}\\x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=u_{2}\\x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=u_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-a_{3}\end{cases}

Okazuje się że współczynniki równania \left(z-u_{1}\right)\left(z-u_{2}\right)\left(z-u_{3}\right)\left(z+u_{1}\right)\left(z+u_{2}\right)\left(z+u_{3}\right)=0
są wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia i mogą być wyrażone przez współczynniki tegoż równania


Do poczytania

1. Rachunku algebraicznego teorya przystosowana do linii krzywych przez Jana Śniadeckiego
http://bcpw.bg.pw.edu.pl/dlibra/docmetadata?id=1342
2. Sierpiński Wacław Zasady algebry wyższej
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Jak ktoś zna łacinę to może poszukać
Hieronymi Cardani Artis Magnae sive de regulis algebraicis

Użytkownik Mariusz M edytował ten post 22.11.2012 - 05:29

  • 6

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55