W szkole rozwiązywaliśmy takie równania korzystając z wyróżnika. Ja jednak na początek proponuję trochę inne podejście. Potrzebne nam będą wzory skróconego mnożenia (kwadrat sumy i różnica kwadratów) oraz umiejętność przekształcania równań (wiemy przecież że cokolwiek dodajemy do jednej strony równania musimy dodać również do drugiej strony równania)
Przypomnę teraz wzory skróconego mnożenia z których będziemy korzystać
Rozłóżmy teraz trójmian kwadratowy na czynniki
Równanie trzeciego stopnia
Do rozwiązania równania trzeciego stopnia potrzebne są dwa podstawienia, podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych (w tym wzory de Moivre), umiejętność rozwiązania równania kwadratowego. Wzory Viete'a i twierdzenie Bezout są opcjonalne.
Przypomnę teraz wzory Viete'a dla równania kwadratowego
ponieważ będą przydatne przy tym podstawieniu którego używam
Spróbujmy znaleźć pierwiastki równania trzeciego stopnia
Teraz mamy do dyspozycji jedno z dwóch podstawień
Podstawienie sprowadzi równanie trzeciego stopnia do wzorów Viete'a równania kwadratowego. Korzystając ze wzorów Viete'a układamy równanie kwadratowe i rozwiązujemy je.
Podstawienie sprowadzi równanie trzeciego stopnia od razu do równania kwadratowego, ale trzeba wziąć niezerowy pierwiastek równania kwadratowego. Gdy równanie kwadratowe ma oba pierwiastki zerowe to wyjściowe równanie trzeciego stopnia jest pełnym sześcianem.
Zajmijmy się pierwszym podstawieniem
Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
Niech
będzie pierwiastkiem trzeciego stopnia z jedynki wówczas
Równanie czwartego stopnia
Ja znam dwa pomysły na równanie czwartego stopnia. Pierwszy z nich jest modyfikacją tego który przedstawiłem przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych, a drugi jest modyfikacją tego który przedstawiłem przy okazji rozwiązywania równań trzeciego stopnia.
Rozkład na czynniki kwadratowe (wg Sierpińskiego jest to metoda Ferrariego)
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania. Uzupełniamy lewą stronę równania do kwadratu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Prawa strona równania będzie pełnym kwadratem gdy jej wyróżnik będzie równy zero. Aby sprawdzić kiedy wyróżnik prawej strony będzie równy zero wprowadzamy nową zmienną tak aby lewa strona równania nadal była pełnym kwadratem (dodajemy stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy). Przyrównując wyróżnik do zera dostajemy równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej zmiennej. Rozwiązujemy równanie trzeciego stopnia i wybieramy tylko jeden pierwiastek tego równania. Gdy obie strony będą pełnymi kwadratami stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Jeżeli mamy równanie czwartego stopnia postaci
to rozkładu na czynniki kwadratowe możemy dokonać jeszcze w nieco inny sposób
to jest mnożąc dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej i porównując współczynniki
Wyprowadzenie tej drugiej metody zostawiam jako "zadanie domowe". Jako podpowiedź dodam że jest ona bardzo podobna do tej znanej z rozwiązywania rownań trzeciego stopnia.
Po dokonaniu podstawień (podobnych do tych co w metodzie Fontany dla równań trzeciego stopnia)
powinniśmy dostać wzory Viete'a równania trzeciego stopnia
Spróbujmy do rozwiązywania równań czwartego stopnia podejść jeszcze z nieco innej strony
Skonstruujmy wielomian szóstego stopnia którego pierwiastkami są sumy dwóch pierwiastków wyjściowego równania
Skonstruujmy teraz jedno z dwóch równań trzeciego stopnia
Współczynniki powyższych równań powinniśmy otrzymać za pomocą funkcji symetrycznych
No i nie wiem dlaczego Niccolo Fontana vel Tartaglia stchórzył, przecież miał szanse w meczu z Lodovico Ferrari ponieważ jego metoda rozwiązywania równań trzeciego stopnia nadawała się po drobnych modyfikacjach także do rozwiązywania równań czwartego stopnia (może dlatego że wówczas niechętnie używano liczb ujemnych, dlatego było tyle uważanych za różne postaci równań trzeciego i czwartego stopnia).
Podsumowanie
Pokazałem dwie metody które działają na równania wielomianowe drugiego trzeciego i czwartego stopnia
Pierwsza metoda to uzupełnianie do kwadratu bądź sześcianu
Uzupełnianie do sześcianu wygląda mniej więcej tak
Druga metoda to metoda funkcji symetrycznych
Dla równania kwadratowego wychodzimy z układu równań
Zauważmy że jest funkcją symetryczną
Wyrażamy więc ją najpierw za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a następnie korzystając ze wzorów Viete za pomocą współczyników wielomianu a nie na odwrót
jak niektórzy by chcieli
Mamy więc układ równań
Dla równania trzeciego stopnia wychodzimy z układu równań
gdzie
Okazuje się że współczynniki równania
są wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania trzeciego stopnia i mogą być wyrażone przez współczynniki tegoż równania
Dla równania czwartego stopnia wychodzimy z układu równań
Okazuje się że współczynniki równania
są wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia i mogą być wyrażone przez współczynniki tegoż równania
Do poczytania
1. Rachunku algebraicznego teorya przystosowana do linii krzywych przez Jana Śniadeckiego
http://bcpw.bg.pw.edu.pl/dlibra/docmetadata?id=13422. Sierpiński Wacław Zasady algebry wyższej
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
Jak ktoś zna łacinę to może poszukać
Hieronymi Cardani Artis Magnae sive de regulis algebraicis
Użytkownik Mariusz M edytował ten post 22.11.2012 - 05:29