Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 trawa69

trawa69

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 37 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.12.2010 - 22:08

Obliczyć \int\int_{S} x^{2} dydz+y dxdz +z^{2}dxdy, gdzie S jest zewnetrzna strona powierzchni kulistej o równaniu

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}

domysłam sie ze współrzedne beda wygładały nastepująco:

x=a+R cos\theta cos\phi
y=b+R cos\theta sin\phi
z=c+R sin\theta

a całka bedzie wygładała \int\int\int_{V} 3x=...

i dalej nie wiem jak to pociagnac, jaki bedzie jakobian... odpowiedz dla zainteresowanych to \frac{8}{3}\pi R^{3}(a+b+c)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3133 postów
423
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.10.2018 - 23:47

\{x=a+r\cos\theta\cos\varphi\\y=b+r\cos\theta\sin\varphi\\z=c+r\sin\theta
\iint_{S} x^{2} dydz+y dxdz +z^{2}dxdy=\iiint_V\((x^2)'_x+(y)'_y+(z^2)'_z\)dxdydz=
\ \ \ =\iiint_V\(2x+1+2z\)dxdydz=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\int_{-\fr\p2}^{\fr\p2}\int_0^R(2a+2r\cos\theta\cos\varphi+2c+2r\sin\theta+1)r^2\cos\theta drd\theta d\varphi=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\int_{-\fr\p2}^{\fr\p2}\cos\theta\int_0^R(2ar^2+2r^3\cos\theta\cos\varphi+2cr^2+2r^3\sin\theta+r^2)drd\theta d\varphi=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\int_{-\fr\p2}^{\fr\p2}\cos\theta\cdot\|\ \\\fr23ar^3+\fr12r^4\cos\theta\cos\varphi+\fr23cr^3+\fr12r^4\sin\theta+\fr13r^3\\\ \|_0^Rd\theta d\varphi=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\int_{-\fr\p2}^{\fr\p2}\((\fr23aR^3+\fr23cR^3+\fr13R^3)\cos\theta+\fr12R^4\cos^2\theta\cos\varphi+\fr14R^4\sin2\theta\)d\theta d\varphi=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\|\ \\\fr13R^3(2a+2c+1)\sin\theta+\fr18R^4\cos\varphi(2\theta+\sin2\theta)-\fr18R^4\cos2\theta\\\ \|_{-\fr\p2}^{\fr\p2}d\varphi=
\ \ \ =\int_0^{2\p}\(\fr23R^3(2a+2c+1)+\fr\p4R^4\cos\varphi\)d\varphi=
\ \ \ =\|\ \\\fr23R^3(2a+2c+1)\varphi+\fr\p4R^4\sin\varphi\\\ \|_0^{2\p}=
\ \ \ =\fr43\p R^3(2a+2c+1)

  • 0