Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Obliczanie sumy szeregu


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.11.2010 - 16:41

Mam za zadanie obliczyć sumę następującego szeregu ( |x|<1 ):

\sum^{\infty}_{n=0}n 2^{n+1}x^n

Mój ciąg rozumowania jest następujący:

\sum^{\infty}_{n=0}n 2^{n+1}x^n\quad=\quad 2\sum^{\infty}_{n=0}n(2x)^n\quad=\quad 2\sum^{\infty}_{n=0}2x\[(2x)^n\]'\quad=\quad 4x\[\sum^{\infty}_{n=0}(2x)^n\]'\quad=\quad \\ \quad=\quad 4x\(\frac{1}{1-2x}\)'\quad=\quad \frac{8x}{(1-2x)^2}

Niestety, z tego co się orientuję powinno w liczniku wyjść 4x. Nigdzie nie mogę jednak znaleźć błędu w moich obliczeniach Dołączona grafika Pomoże ktoś ... ? :P
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.11.2010 - 20:03

Mnie zastanawia tylko ta jedna dwójka, która pojawia Ci się po drugiej równości.

[(2x)^n]'=\frac{(2x)^nn}{x}

Tak na pierwszy rzut oka mi się wydaje, ale zaraz to sprawdzę dokładnie ;)
Chyba jest ok, w razie czego ktoś mnie poprawi :) No i teraz wynik wyjdzie taki, jak trzeba.
Po przeliczeniu wychodzi mi dokładnie to, co Tobie, ale właśnie 4x, a nie 8x.
  • 1

#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.11.2010 - 20:06

Mam za zadanie obliczyć sumę następującego szeregu ( |x|<1 ):

\sum^{\infty}_{n=0}n 2^{n+1}x^n

Mój ciąg rozumowania jest następujący:

\sum^{\infty}_{n=0}n 2^{n+1}x^n\quad=\quad 2\sum^{\infty}_{n=0}n(2x)^n\quad=\quad 2\sum^{\infty}_{n=0}2x\[(2x)^n\]'\quad=\quad 4x\[\sum^{\infty}_{n=0}(2x)^n\]'\quad=\quad \\ \quad=\quad 4x\(\frac{1}{1-2x}\)'\quad=\quad \frac{8x}{(1-2x)^2}

Niestety, z tego co się orientuję powinno w liczniku wyjść 4x. Nigdzie nie mogę jednak znaleźć błędu w moich obliczeniach Dołączona grafika Pomoże ktoś ... ? :P

 \[ \( 2x \)^{n} \]' = n (2x)^{n-1} \cdot 2 = n \cdot 2^{n} x^{n-1}
dlatego przed znak sumy wyciągamy nie 4x tylko 2x.
  • 1

#4 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.11.2010 - 11:28

Dołączona grafika Tak głupi błąd, że aż szkoda gadać. Teraz już wiem skąd jest ta nadliczbowa dwójka. Dzięki.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#5 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.11.2010 - 12:16

Miałbym jedno pytanie do tego rozwiązania. W ostatnim kroku traktujesz szereg jako geometryczny o ilorazie mniejszym od 1. Jednak wyrażenie 2x przy założeniach z zadanie jest niekoniecznie mniejsze od 1 ... dobrze myślę czy nie za bardzo?
  • 1

#6 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.11.2010 - 12:24

Oczywiście, szereg jest wtedy zbieżny tylko dla |x|\lt \frac{1}{2}. Ja jednak w tym wypadku założenia zbieżności pomijam - nie są mi potrzebne, jedynie sama metoda.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#7 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.11.2010 - 12:26

Oczywiście, szereg jest wtedy zbieżny tylko dla |x|\lt \frac{1}{2}. Ja jednak w tym wypadku założenia zbieżności pomijam - nie są mi potrzebne, jedynie sama metoda.



Ok, wszystko jasne :)
  • 0