Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

równane w lczbach naturalych


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 Soszek

Soszek

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 41 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2010 - 10:28

Mam problem z takim zadankiem :
Rozwiązać równanie w liczbach naturalnych   x^{2} +3y ^{2} =z ^{2} Proszę o pomoc
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.06.2016 - 20:59

x^2+3y^2=z^2
y=kx \quad\to\quad  x^2+3k^2x=z^2 \quad\to\quad  (3k^2+1)x^2=z^2 \quad\to\quad  3k^2+1=n^2 \quad\to\quad  z=nx
k=\{1,4,15\}
rozwiązanie to wszystkie trójki  (A,A,2A)\ \vee\ (A,4A,7A)\ \vee\ (A,15A,26A)\ \ A\in\mathbb{N}

  • 1

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2016 - 11:42

Dlaczego od razu zakładasz, że x|y? Dlaczego wzięłaś tylko 3 początkowe wartości k?


  • 0

#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.07.2016 - 15:48

Rozwiązać równanie w liczbach naturalnych 

 

Dlaczego od razu zakładasz, że x|y

 

Czy treść zadania zabrania mi tego?

 

 Dlaczego wzięłaś tylko 3 początkowe wartości k?

 

Bo miałam rozwiązać równanie w liczbach naturalnych. I takie rozwiązania znalazłam. I to rozwiązań trzy razy więcej niż jest liczb naturalnych. Chyba wystarczy. Autor nie domagał się wszystkich możliwych rozwiązań. Ale Ty możesz uzupełnić. :)


  • 0

#5 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2016 - 22:57

Jak tak rozwiązujesz te zadania, to wystarczyło napisać, że (1,1,2) jest rozwiązaniem i zakończyć. W matematyce przez "rozwiąż równanie" zwykło się rozumieć "znajdź wszystkie rozwiązania lub udowodnij, że nie istnieją" :)

 

Ja generalnie nie mam nic przeciwko częściowym rozwiązaniom, ale dobrą praktyką jest zaznaczyć wyraźnie "nie wiem jak to rozwiązać w ogólnym przypadku, ale jeśli x|y to mamy następujące rozwiązania:..."

 

Jestem pod wrażeniem ilości archwialnych zadań, które rozwiązujesz, ale oby to nie było kosztem jakości, tak jak tutaj.


  • 1

#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.07.2016 - 08:58

Żeby podnieść jakość, po prostu uzupełnij moje rozwiązanie. Chyba, że "nie wiesz jak to rozwiązać w ogólnym przypadku..."


:)


  • 0

#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.07.2016 - 13:09

Ja mam średnio eleganckie to rozwiązanie, ale niech będzie.

 

Zauważmy, że jak 2|x to 2|y i 2|z, więc dalej skupiamy się na przypadku x nieparzystego. Z podobnych powodów możemy dalej przyjąć, że 3 \not | x. Na początku szukamy rozwiązań tylko takich, że NWD(x,y) = 1.

 

Mamy (z+x)(z-x) = 3y^2.

 

Przyjmijmy najpierw, że 3|z+x.

 

Zapiszmy y = 2^t \cdot k \cdot m, gdzie t \ge 0 oraz  NWD(k,m) = 1, i k,m są nieparzyste, a także z+x = 3k^2 \cdot 2^a oraz z-x = m^2 \cdot 2^b, dla pewnych nieujemnych a,b, takich że a + b =2t (przy czym, jesli t > 0, to min(a,b)=1)

 

Takie przedstawienie jest możliwe, bo gdyby było dla jakiejś liczby pierwszej p|y tak, że p|z+x i p|z-x to p|2x, więc musiałoby być być p = 2. Dodatkowo, 2 || NWD(x-z,x+z).

 

Innymi słowy, mamy

 

(x, y, z) = (3k^2 \cdot 2^{a-1} - m^2 \cdot 2^{b-1}, 2^t \cdot k \cdot m, 3k^2 \cdot 2^{a-1} + m^2 \cdot 2^{b-1})

 

 

Może też być tak, że 3|z-x i wówczas dostajemy trójki

 

(x, y, z) = (k^2 \cdot 2^{a-1} - 3m^2 \cdot 2^{b-1}, 2^t \cdot k \cdot m, k^2 \cdot 2^{a-1}+ 3m^2 \cdot 2^{b-1})

 

Tym sposobem wygenerujemy wszystkie rozwiązania, dla których NWD(x,y) = 1. Pozostałe wygenerujemy biorąc (dx,dy,dz) dla dowolnego d \in \mathbb{N}.

 

Jeszcze na końcu taka uwaga, że albo trzeba opisać możliwe wartości k i m tak, żeby x nie wychodził ujemny albo wziąć do rozwiązania |x| jako że chcemy mieć liczby naturalne.


Użytkownik Ereinion edytował ten post 04.07.2016 - 11:31

  • 1

#8 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.07.2016 - 21:11

... gdzie t \ge 0 oraz  NWD(k,m) = 1, i k,m są nieparzyste, a także ...  dla pewnych a,b \in \{ 1, 2t-1\} i a \neq b.

...

...

Innymi słowy, mamy

 

(x, y, z) = (3k^2 - m^2 \cdot 2^{2t-2}, 2^t \cdot k \cdot m, 3k^2 + m^2 \cdot 2^{2t-2})

Przyjęłam   \{t=0\\k=1\\m=3\\a=1\\b=-1   i otrzymałam   \{x=\fr34\\y=3\\z=\fr{21}{4}   czyli nie całkiem naturalne.


  • 1

#9 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.07.2016 - 11:34

Zgadza się, dla nieparzystego y trzeba było to oddzielnie opisać. Poprawiłem już i teraz powinny wychodzić liczby całkowite :) Mam przeczucie, że można tę końcową postać jakoś uprościć, ale póki co nie bardzo widzę jak.


  • 0