Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka krzywoliniowa

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Stas

Stas

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 49 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.11.2010 - 21:16

Witam


Sprawdzic czy podana całka jest niezalezna od drogi całkowania i obliczyc ją wyznaczajac potencjał lub całkujac po łamanej




\int_{AB} y\sin{x}dx}-\cos{x}dy  , A=(0,1) , B=(\Pi, -1)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3136 postów
423
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.12.2018 - 23:07

A=(0,1)\ \ \ B=(\p,-1)
parametryzacja odcinka AB
\{x=\p t\\y=1-2t\\t\in[0,1]     \quad\to\quad\ \{dx=\p dt\\dy=-2dt
\int_{AB}(y\sin xdx-\cos xdy)=\int_0^1(1-2t)\p\sin(\p t)dt+2\int_0^1\cos(\p t)dt=
=\int_0^1\p\sin(\p t)dt-2\int_0^1\p t\sin(\p t)dt+2\int_0^1\cos(\p t)dt=
=\|\ \\\cos(\p t)\\\ \|_1^0-2\|\ \\\fr1\p\sin(\p t)-t\cos(\p t)\\\ \|_0^1+2\|\ \\\fr1\p\sin(\p t)\\\ \|_0^1=
=1-(-1)-2(0-(-1)-0+0)+2(0-0)=0
inna droga - łuk elipsy od B do A
\{x=\p\cos t\\y=2\sin t - 1\\t\in\[0,\fr\p2\]   \quad\to\quad\ \{dx=-\p\sin t dt\\dy=2\cos t dt
\int_{AB}(y\sin xdx-\cos xdy)=\int_0^{\fr\p2}(2\sin t-1)\sin(\p\cos t)\cd(-\p\sin t)dt-\int_0^{\fr\p2}\cos(\p\cos t)\cd2\cos tdt=
=-\int_0^{\fr\p2}2\p\sin^2 t\sin(\p\cos t)dt+\int_0^{\fr\p2}\p\sin t\sin(\p\cos t)dt-\int_0^{\fr\p2}2\cos t\cos(\p\cos t)dt=
=-\p\cd H_1(\p)+\|\ \\\cos(\p\cos t) \\\ \|_0^{\fr\p2}-\p\cd H_{-1}(\p)=
=-\p\( H_1(\p)+H_{-1}(\p)\)+\(\cos(\p\cos \fr\p2)-\cos(\p\cos0\)=
=-\p\cd\fr2\p+\(1-(-1)\)=-2+2=0
więc wartość całki nie zależy od obranej drogi od A do B

  • 0