Całka krzywoliniowa

$A=(0,1)\ \ \ B=(\p,-1)$

parametryzacja odcinka AB

$\{x=\p t\\y=1-2t\\t\in[0,1]$ $\quad\to\quad\ \{dx=\p dt\\dy=-2dt$

$\int_{AB}(y\sin xdx-\cos xdy)=\int_0^1(1-2t)\p\sin(\p t)dt+2\int_0^1\cos(\p t)dt=$

$=\int_0^1\p\sin(\p t)dt-2\int_0^1\p t\sin(\p t)dt+2\int_0^1\cos(\p t)dt=$

$=\|\ \\\cos(\p t)\\\ \|_1^0-2\|\ \\\fr1\p\sin(\p t)-t\cos(\p t)\\\ \|_0^1+2\|\ \\\fr1\p\sin(\p t)\\\ \|_0^1=$

$=1-(-1)-2(0-(-1)-0+0)+2(0-0)=0$

inna droga - łuk elipsy od B do A

$\{x=\p\cos t\\y=2\sin t - 1\\t\in\[0,\fr\p2\]$ $\quad\to\quad\ \{dx=-\p\sin t dt\\dy=2\cos t dt$

$\int_{AB}(y\sin xdx-\cos xdy)=\int_0^{\fr\p2}(2\sin t-1)\sin(\p\cos t)\cd(-\p\sin t)dt-\int_0^{\fr\p2}\cos(\p\cos t)\cd2\cos tdt=$

$=-\int_0^{\fr\p2}2\p\sin^2 t\sin(\p\cos t)dt+\int_0^{\fr\p2}\p\sin t\sin(\p\cos t)dt-\int_0^{\fr\p2}2\cos t\cos(\p\cos t)dt=$

$=-\p\cd H_1(\p)+\|\ \\\cos(\p\cos t) \\\ \|_0^{\fr\p2}-\p\cd H_{-1}(\p)=$

$=-\p$ H_1(\p)+H_{-1}(\p)$+$\cos(\p\cos \fr\p2)-\cos(\p\cos0$=$

$=-\p\cd\fr2\p+$1-(-1)$=-2+2=0$

więc wartość całki nie zależy od obranej drogi od A do B

STUDIA Rachunek całkowy Całka krzywoliniowa płaska nieskierowana Napisany przez agus89, 18 Feb 2010 rachunek całkowy	1 odpowiedź 2226 wyświetleń	sakhmet 18 Feb 2010
STUDIA Rachunek całkowy Całka krzywoliniowa skierowana Napisany przez agus89, 27 Feb 2010 rachunek całkowy	1 odpowiedź 3683 wyświetleń	sakhmet 28 Feb 2010
STUDIA Rachunek całkowy Całka krzywoliniowa nieskierowana Napisany przez lost, 02 Jun 2010 rachunek całkowy	3 odpowiedzi 2828 wyświetleń	lost 02 Jun 2010
STUDIA Rachunek całkowy Całka krzywoliniowa nieskierowana Napisany przez lost, 02 Jun 2010 rachunek całkowy	1 odpowiedź 1479 wyświetleń	sakhmet 02 Jun 2010
STUDIA Rachunek całkowy Całka krzywoliniowa nieskierowana Napisany przez lost, 02 Jun 2010 rachunek całkowy	1 odpowiedź 1506 wyświetleń	sakhmet 02 Jun 2010