Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Pierścienie, ciała i grupy - ktoś wytłumaczy na chłopski rozum?


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 boroowa

boroowa

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.10.2010 - 22:56

Witam,

chciałbym się zapytać was, czy moglibyście rozbić mi i wytłumaczyć o co chodzi w powyższych definicjach? Bo chodzi o to, że to podobno podstawy podstaw na studiach, a ja nie rozumiem zasady działania tego "czegoś", po co to jest i dlaczego ktoś wymyślił sobie taki bzdet*

Z góry dziękuję za pomoc

*Proszę, nie miejcie urazy, ale naprawdę to troszkę jest dziwne :D
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niusia_87

niusia_87

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 208 postów
2
Neutralny

Napisano 31.10.2010 - 23:20

Grupą nazywamy parę (G,\circ), gdzie G jest zbiorem niepustym a \circ:G\times G\to G przekształceniem (zwanym działaniem), spełniającą warunki:

a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c dla dowolnych a,b,c\in G,

istnieje element e\in G taki, że dla dowolnego a\in G zachodzą równości a\circ e=e=e\circ a,

dla dowolnego a\in G, a\ne e istnieje b\in G, b\ne e taki, że a\circ b=e=b\circ a.

Przy tym element e istnieje wtedy tylko jeden i nazywa się go elementem neutralnym działania \circ, a element b spełniający ostatnią równość nazywa się odwrotnym do a względem tego działania.


Warto przeanalizować definicję grupy na najprostszych przykładach zbiorów liczbowych (\mathbb{R},+), (\mathbb{R},\cdot), (\mathbb{Z},+). Zastanów się, dlaczego grupą nie jest np. (\mathbb{N},+) (bez różnicy, czy uznamy, że 0 jest liczbą naturalną czy też nie).

Przeanalizujmy teraz zbiór wielomianów wyposażony w działanie dodawania. Najpierw trzeba zobaczyć, że dodawanie jest w ogóle dobrze określone - czy suma dwóch wielomianów jest zawsze wielomianem? Ale tak jest.
Sprawdź teraz, że zachodzi pierwszy warunek definicji grupy (tzw. łączność działania (znaną ze szkoły, na wyżej wymienionych przykładach zbiorów liczbowych), tj. wykaż, że f+(g+h)=(f+g)+h dla dowolnych wielomianów f,g,h.
Teraz kolej na wskazanie ewentualnego elementu neutralnego: łatwo możesz się przekonać, że jest nim tutaj wielomian zerowy (tj. stale równy zeru).
A dla każdego wielomianu f istnieje wielomian -f - będący elementem odwrotnym do f.

(Nawiasem mówiąc, w przypadku działania dodawania w grupie, często zamiast terminu element odwrotny używa się terminu element przeciwny.)








W pojęciu grupy chodzi o pewne intuicyjne własności jakiegoś działania
wykonywanego na elementach pewnego zbioru. Już w szkole poznajemy własności dodawania i mnożenia. W grupie rozważa się tylko jedno działanie. Zwykle nazywa się je dodawaniem (grupa addytywna) lub mnożeniem (grupa multyplikatywna lub, inna pisownia, multiplikatywna). W każdym razie działanie to musi być łączne, mieć element neutralny (tak jak 0 dla dodawania czy 1 dla mnożenia) oraz dla każdego elementu zbioru musi istnieć element przeciwny (notacja addytywna), zwany też odwrotnym w notacji multyplikatywnej. Te trzy własności zostały wyodrębnione ze zwykłego dodawania i mnożenia jako te najbardziej podstawowe. Zauważ, że nie postuluje się tu przemienności. Wiele działań bowiem ma trzy wymienione własności, ale nie są one przemienne. Oczywiście klasyczne dodawanie i mnożenie przemienne są. Wśród działań nieprzemiennych mamy np. w geometrii składanie przekształceń, w algebrze mnożenie macierzy. A jeśli chodzi o wielomiany ze zwykłym dodawaniem, to oczywiście stanowią one grupę. Dodawanie wielomianów jest łączne, ma element neutralny (wielomian zerowy) oraz elementy przeciwne: przeciwnym do wielomianu w(x) jest -w(x).

Jest prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Łączy ono te dwa działania. Jeśli w jakimś abstrakcyjnym zbiorze rozważymy dwa działania, jedno zwane dodawaniem spełniające postulaty grupy i drugie, zwane mnożeniem, łączne i z elementem neutralnym, niekoniecznie z odwrotnymi, łącząc je dodatkowo prawem rozdzielności, to otrzymamy pierścień. Czasem postuluje się jeszcze przemienność obu działań, czasem nie. Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych tworzą pierścień.

Jeśli ponadto w pierścieniu każdy element niezerowy ma odwrotność (względem mnożenia), to ten pierścień jest ciałem. Wielomiany nie tworzą ciała - nie mają na ogół wielomianów odwrotnych. Intuicyjnie biorąc, jeśli w(x) jest wielomianem stopnia co najmniej 1, to  \frac{1}{w(x)} nie jest wielomianem, ale funkcją wymierną. Ale to nie jest poprawne matematycznie tłumaczenie, czemu wielomiany nie mają odwrotności.
  • 1

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.10.2010 - 23:28

... jeżeli coś czego nie rozumiesz (jeszcze) , już nazywasz bzdetami , to po prostu daj sobie spokój, przecież nikt i nic - jak sądzę - nie zmusza ciebie i tym podobnych
iść na studia , a bez tego też da się żyć, no i poza tym, to takich ... :) "mądrych", ale prostych rzeczy nie da się każdemu ... prosot ot tak ... :) wytłumaczyć i tyle . ... :rolleyes:
  • 0

#4 boroowa

boroowa

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2010 - 17:36

Widzisz, nie uważam, że matematyka nie jest potrzebna - ale niektóre twierdzenia wydają się "pro arte". Bo po co niby trzeba wiedzieć znać właśnie taką abstrakcję, jak jest grupa - poza tym pomimo tego, że już załapałem o co chodzi - to i tak uważam to za bzdet, mało że nieprzydatny, to jeszcze definicja dobrze tego nie tłumaczy. Ale to już pozostawiam własnemu rozrachowaniu.


Dziękuję ślicznie niusia_87
  • 0

#5 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2010 - 18:18

... to może jeszcze dodam, że pojęcia te (tzw. struktury arytmetyki, algebry, itd) robią (pozwalają zrobić) po prostu zwykły
... :) "porządek" i to nie tylko w matematyce , ale przy jej pomocy, przede wszystkim w innych dziedzinach nauki . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 0

#6 Szmydek

Szmydek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.06.2014 - 23:34

Wiem ze odswiezam temat ale potrzebuj szybkiego wyjasnienia 
 

Rozstrzygnac (uzasadniajac odpowiedz), czy podane zbiory z okreslonymi odwzorowaniami sa
grupami:
(a) (N; +),
(b) (Z; +),
© (R; +),
(d) (Z; * ),
(e) (Q; * ),
 
 (Z[i]; +),
 (Z[i]; *),
 
i ogulnie na kolosie mialem  (Z[4]; *), i sam juz nie wiem  co znaczy to 4 czy to jest liczba pierwsza czy  czy ogulnie grupa Z4 

  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2014 - 18:46

(N; +) nie bo nie ma elementów odwrotnych w N, w sumie 0 też nie należny do N więc elementu neutralengo tez nie ma

(Z; +) jest

(R; +) jest

(Z; * ) jeśli to mnożenie to nie, bo nie ma elementów odwrotnych

(Q;* ) jest

(Z[i]; +) jest


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5951 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.06.2014 - 18:55

Jarekzulus, akurat to czy 0 jest liczbą naturalną czy też nie to kwestia mocno umowna, więc tego agrumentu bym nie poruszała ;) aczkolwiek rozwiązanie tak czy owak poprawne :)


  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.06.2014 - 09:33

Tak to zawsze jest kwestia dyskusyjna. Ja jednak uważam, że liczb naturalnych używamy do liczenia przedmiotów więc mamy 1 przedmiot, dwa przedmioty itd. Moim skromnym zdaniem 0 nie jest liczbą naturalną.

 

Na oznaczenie naturalnych z zerem używam N_0

 

Ale nie jestem jakimś szczególnie walczący o taki stan rzeczy, więc respektuje odmienne zdanie no przynajmniej w tej kwestii. :)

 

A jeszcze zobaczyłem

 

i ogulnie na kolosie mialem  (Z[4]; *), i sam juz nie wiem  co znaczy to 4 czy to jest liczba pierwsza czy  czy ogulnie grupa Z4 

 

 

4 - liczba pierwsza :) mocne,                                                                   nie Z[4] to grupa Z4 czyli {0,1,2,3} tak przynajmniej ja to oznaczam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską