Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Trygonometria - odległość punktu od wierzchołka kąta



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 aga_b

aga_b

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.10.2010 - 15:50

Wewnątrz kąta o mierze \alpha=60^{\circ} leży punkt X, którego odległości od ramion kąta są równe 4 i 2. Oblicz odległość punkt X od wierzchołka kąta.
Chodzi mi o samą metode rozwiązywania zadań tego typu.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 06.06.2016 - 00:25
Edycja TeX

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.06.2016 - 01:11

Wewnątrz kąta o mierze \alpha=60^{\circ} leży punkt X, którego odległości od ramion kąta są równe 4 i 2. Oblicz odległość punkt X od wierzchołka kąta.

 

 

pre_1465170255__odpxodwo.jpg

 

Oznaczmy wierzchołek kąta jako O, a punkty przecięcia odcinków od X do ramion kąta odpowiednio jako B i C. Mamy więc sumę katów OBX + OCX = 180^{\circ}, więc czworokąt OBXC jest wpisany w okrąg. Kąty OBX i OXX są proste więc oparte na średnicy OX.  Środek okręgu oznaczmy przez S.

 

Oczywiście przy tych oznaczeniach mamy |OS|=|SC|=|SB|=|SX|=r

 

Kąt BSC ma 120^{\circ} ponieważ jest to kątem środkowym opartym na tym samym łuku co BOC.

 

Kąt CXB również ma 120^{\circ}

 

Z twierdzenia cosinusów mamy:               cos(120^{\circ})=-\frac{1}{2}

 

|BC|^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot cos(BSC)=2r^2-2 r^2\cdot (-\frac{1}{2})=3r^2               ale  także

 

|BC|^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot (-\frac{1}{2})=28

 

czyli

 

r=\sqrt{\frac{28}{3}}

 

więc

 

|OX|=2r=2\sqrt{\frac{28}{3}}

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Ogólnie dla kąta 60^{\circ} i odległości a i b mamy wzór

 

\fbox{r=\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 06.06.2016 - 01:15

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską