Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykonać działanie.


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Vianne

Vianne

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 826 postów
194
Pomocnik II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.10.2010 - 15:44

 {{(1+i)^n}\over{(1-i)^{n-2}}},  n\epsilon N, n>2

Mianowicie sprowadziłam sobie obie liczby do postaci trygonometrycznej.

z_1=(1+i)^n=(\sqrt2)^n \cdot e^{i{{\pi}\over{4}}n}

z_2=(1-i)^{n-2}={{(\sqrt2)^n \cdot e^{i{{7\pi n}\over{4}} } }\over{2\cdot e^{i\cdot 3,5 \pi }

Podzieliłam przez siebie te liczby i dostałam  2\cdot e^{ i(3,5\pi +0,25 \pi n - {{7\pi}\over{4}}n )}

Ostatecznie doszłam do wyniku  2e^{i  ( 3,5\pi - 1,5\pi n)

A w odpowiedziach mam wynik taki śliczny :  2i^{n-1}

I nie wiem jak to sprowadzić to takiej postaci, znaczy wiem, że zapewne trzeba przejść na postać trygonometryczną, ale tu się gubię.
  • 1
Jeśli pomogłam kliknij -->Dołączona grafika

"Zobaczyć świat w ziarenku piasku,
Niebiosa w jednym kwiecie lasu.
W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar,
w godzinie - nieskończoność czasu."

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.10.2010 - 20:25

Ja to zrobiłbym tak:

 Niech: \\ z_1=(1+i)^n=(\sqrt{2})^ne^{\frac{\pi}{4}in} \\ z_1=(1-i)^{n-2}=(1-i)^n\cdot (1-i)^{-2}=(\sqrt{2})^ne^{-\frac{\pi}{4}in}\cdot (\sqrt{2})^{-2}e^{\frac{\pi}{2}i} \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{(\sqrt{2})^ne^{\frac{\pi}{4}in}}{(\sqrt{2})^ne^{-\frac{\pi}{4}in}\cdot (\sqrt{2})^{-2}e^{\frac{\pi}{2}i}}=2e^{\frac{\pi}{2}in -\frac{\pi}{2}i}=2e^{\frac{\pi}{2}i(n-1)}=2(e^{\frac{\pi}{2}i})^{n-1} \\ e^{\frac{\pi}{2}i }=cos {\frac{\pi}{2}}+isin\frac{\pi}{2}=i \\ \frac{z_1}{z_2}=2i^{n-1}

PS Postać, do której sprowadziłaś liczbę zespoloną, to postać wykładnicza, taki mały błąd :innocent:
  • 1