Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji (x, y)


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 daniel345

daniel345

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 9 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.09.2010 - 01:38

Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji f(x, y)= x3+3xy2-15x-12y

Za pomoc dziękuje i pozdrawiam
Daniel
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.09.2010 - 16:50

Znaleźć ekstrema i punkty siodłowe funkcji f(x, y)= x3+3xy2-15x-12y

Za pomoc dziękuje i pozdrawiam
Daniel

Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu I.
 f_{x}(x,y) = 3x^{2} +3y^{2}-15 = 3(x^{2}+y^{2}-5)
 f_{y}(x,y) = 6xy -12 = 3(2xy - 4)
Znajdujemy współrzędne punktów krytycznych:
 \left {\begin{array} {ll} x^{2} +y^{2} - 5 = 0\\ 2xy -4 = 0 \end{array} \right.
Dodając równania stronami
 x^{2} +y^{2} + 2xy = 9 \leftrightarrow (x+y)^{2} = 9 \leftrightarrow x + y = -3 \vee x + y = 3
Rozwiązując dwa układy równań:
 \left {\begin{array} {ll} x + y  = -3\\ 2xy -4 = 0 \end{array} \right.
oraz
 \left {\begin{array} {ll} x + y  = 3\\ 2xy -4 = 0 \end{array} \right.
otrzymujemy współrzędne czterech punktów krytycznych:
 \left( \frac{3 -\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right ),\left( \frac{3 +\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 +\sqrt{17}}{2} \right ),<br /> \left( 1, 2 \right ), \left( 2, 1 \right ).
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II.
 f_{xx)(x,y) = 6x, f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)= 6y, f_{yy}(x,y) = 6x.
Znajdujemy macierz drugiej różniczki:
 D^{2}f(x,y)=\left [\begin{array}{cc} f_{xx}(x,y)& f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{array}\right]=<br /> = \left [\begin{array}{cc}  6x & 6y \\ 6y & 6x  \end{array}\right ]= 6\left [\begin{array}{cc}  x & y \\ y & x  \end{array}\right ]
Badamy określoność drugiej różniczki w punktach krytycznych.
 D^{2}f \left( \frac{3 -\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right ) = \frac{6}{2}\left [\begin{array}{cc}<br />3 -\sqrt{17} &  -3 - \sqrt{17} \\ -3 - \sqrt{17} & 3 -\sqrt{17} \end{array} \right ]
 \left| 3 -\sqrt{17} \right | < 0
 \frac{6}{2}\left |\begin{array}{cc}3 -\sqrt{17} &  -3 - \sqrt{17} \\ -3 - \sqrt{17} & 3 -\sqrt{17} \end{array} \right | = -36\sqrt{17}< 0
W punkcie   \left( \frac{3 -\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right ) funkcja ma punkt siodłowy(macierz drugiej różniczki nieokreślona).
 D^{2}f \left( \frac{3 +\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 +\sqrt{17}}{2} \right ) = \frac{6}{2}\left [\begin{array}{cc}<br />3 +\sqrt{17} &  -3 + \sqrt{17} \\ -3 + \sqrt{17} & 3 +\sqrt{17} \end{array} \right ]
 \left| 3 +\sqrt{17} \right | > 0
 \frac{6}{2}\left |\begin{array}{cc}3 +\sqrt{17} &  -3 + \sqrt{17} \\ -3 + \sqrt{17} & 3 + \sqrt{17} \end{array} \right | = 36\sqrt{17}>0
W punkcie  \left( \frac{3 +\sqrt{17}}{2}, \frac{-3 +\sqrt{17}}{2} \right ) występuje minimum lokalne funkcji( macierz drugiej rózniczki dodatnio określona).
 D^{2}f \left( 1, 2 \right ) = \frac{6}{2}\left [\begin{array}{cc} 1 & 2  \\ 2 & 1 \end{array} \right ]
 \left | 1| > 0
 \frac{6}{2}\left |\begin{array}{cc} 1  & 2 \\ 2  &  1 \end{array} \right | = -9 < 0
W punkcie   \left( 1, 2  \right ) funkcja ma punkt siodłowy.
 D^{2}f \left( 2, 1\right ) = \frac{6}{2}\left [\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right ]
 \left | 2 \right | > 0
 \frac{6}{2}\left |\begin{array}{cc} 2  & 1 \\ 1  &  2 \end{array} \right | = 9 > 0
W punkcie   \left( 2, 1  \right ) funkcja ma minimum lokalne.
Pozdrawiam.
  • 1