Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Dowód na niewymierność liczby


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.09.2010 - 15:33

Mam pytanko... Czy istnieje jakaś konkretna metoda na sprawdzenie czy dana liczba jest niewymierna? (chodzi mi o pierwiastki) Czy jest jakiś sposób, czy każdą liczbę pod pierwiastkiem trzeba sprawdzać czy jest ona potęgą innej liczby?
  • 0

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.09.2010 - 15:40

Liczba jest niewymierna wtw. gdy nie jest wymierna czyli gdy nie da się jej zapisać w postaci \frac{p}{q} gdzie p,q całkowite i q \neq 0. Raczej nie jest znany algorytm, który by łatwo pozwalał dla każdej liczby orzec czy jest wymierna czy nie, ale przy sprawdzaniu "pierwiastków" często skutkuje metoda dowodu nie wprost, czyli zakładasz że dana liczba jest wymierna i dochodzisz do sprzeczności. (Gorzej jak nie dojdziesz do sprzeczności :P )
Jak dasz konkretny przykład to będzie można łatwiej pomóc.
  • 0

#3 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.09.2010 - 15:52

Liczba jest niewymierna wtw. gdy nie jest wymierna czyli gdy nie da się jej zapisać w postaci \frac{p}{q} gdzie p,q całkowite i q \neq 0. Raczej nie jest znany algorytm, który by łatwo pozwalał dla każdej liczby orzec czy jest wymierna czy nie, ale przy sprawdzaniu "pierwiastków" często skutkuje metoda dowodu nie wprost, czyli zakładasz że dana liczba jest wymierna i dochodzisz do sprzeczności. (Gorzej jak nie dojdziesz do sprzeczności :P )
Jak dasz konkretny przykład to będzie można łatwiej pomóc.


Mi chodziło o ogólną metodę... dla wszystkich pierwiastków, ale skoro nie ma takowej, jakiegoś wzoru do którego daną liczbę się podstawia... Np. \sqrt{2} każdy wie, że to jest liczba niewymierna i w tym wypadku można takowej potęgi szukać, bo liczby są małe ale co z np \sqrt{3677}, tu by było raczej ciężko...
  • 0

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


#4 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.09.2010 - 16:02

Jak chcesz wykazać, że dla jakiegoś n \in \mathbb{N} liczba \sqrt{n} jest liczbą niewymierną, to wystarczy że znajdziesz taką liczbę pierwszą p, że p|n i p^2 \not | n. Wtedy dowód będzie zakończony. Oczywiście dla dużych liczb rozkład na czynniki pierwsze może być, delikatnie mówiąc, czasochłonny. Ale np łatwo stwierdzić, że liczba \sqrt{365433674} jest niewymierna, bo liczba pod pierwiastkiem dzieli się przez 2, ale nie dzieli się przez 4. Tak więc metoda nawet dla dużych liczb czasem działa :)
  • 2