Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadania z teorii liczb - poziom trudny 16


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.07.2010 - 17:14

Zadanie 1.
Dwa zadania z Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej:

(1) Chwiejna liczba jest liczbą naturalną której cyfry są na przemian różne od zera i równe zero, z czego cyfra jedności jest różna od zera. Wyznacz wszystkie liczby naturalne które nie dzielą żadnej chwiejnej liczby.
(2) Liczba naturalna jest nazywana zamienną jeśli wśród jej dowolnych dwóch kolejnych cyfr w zapisie dziesiętnym jedna jest parzysta, a druga nieparzysta. Znajdź wszystkie naturalne n takie, że n ma wielokrotność która jest zamienna.

//Skoro są z IMO to powinny gdzieś być polskie tłumaczenia tego ... przydałyby się w każdym razie, Tomalla

Two related IMO problems.
(1) A wobbly number is a positive integer whose digits are alternately nonzero and zero with the units digit being nonzero. Determine all positive integers that do not divide any wobbly numbers.
(2) A positive integer is called alternating if among any two consecutive digits in its decimal representation, one is even and the other is odd. Find all positive integers n such that n has a multiple that is alternating.

Zadanie 2.
Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Ciąg a_n jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie tworzy ciągu arytmetycznego długości p z żadnymi p-1 liczbami spośród liczb n, a_n można uzyskać poprzez zapisanie n w systemie o podstawie p-1 i odczytaniu wyniku w systemie o podstawie p.

Let p be an odd prime. The sequence p with any of the preceding terms. Prove that for all n, a_n is the number obtained by writing n in base p.

Zadanie 3.
(1) Ustal czy istnieją względnie pierwsze liczby całkowite a,\,b,\,c\gt1 takie, że:
(p,\,q,\,r) spełniających:
c with a, b, c > 1 such that
b | 2^a+ 1, c | 2^b+ 1, a | 2^c+ 1.

(2) Find all ordered triples of primes  \(p, q, r \) such that
p | q^r+ 1, q | r^p+ 1, r | p^q+ 1.

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55


Wróć do Matura, konkursy, olimpiady, testy