Dwa zadania z Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej:
(1) Chwiejna liczba jest liczbą naturalną której cyfry są na przemian różne od zera i równe zero, z czego cyfra jedności jest różna od zera. Wyznacz wszystkie liczby naturalne które nie dzielą żadnej chwiejnej liczby.
(2) Liczba naturalna jest nazywana zamienną jeśli wśród jej dowolnych dwóch kolejnych cyfr w zapisie dziesiętnym jedna jest parzysta, a druga nieparzysta. Znajdź wszystkie naturalne takie, że ma wielokrotność która jest zamienna.
//Skoro są z IMO to powinny gdzieś być polskie tłumaczenia tego ... przydałyby się w każdym razie, Tomalla
Zadanie 2.
Niech będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Ciąg jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie tworzy ciągu arytmetycznego długości z żadnymi liczbami spośród liczb , można uzyskać poprzez zapisanie w systemie o podstawie i odczytaniu wyniku w systemie o podstawie .
Zadanie 3.
(1) Ustal czy istnieją względnie pierwsze liczby całkowite takie, że:
spełniających:
with such that
.
(2) Find all ordered triples of primes such that
.