Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadania z teorii liczb - poziom trudny 7


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.07.2010 - 16:31

Zadanie 1.
Boki trójkąta mają długość kolejno n, przy czym są one liczbami całkowitymi. Zakładając, że k>m>m oraz n. Assume that x kamyczków, gdzie x jest kwadratem dowolnej liczby naturalnej. Gracz który nie jest w stanie wykonać swojego ruchu, przegrywa. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele sytuacji początkowych, dla których gracz który wykonuje ruch jako drugi ma strategię wygrywającą.

Consider the following two-person game. A number of pebbles are lying on a table. Two players make their moves alternately. A move consists in taking off the table x pebbles, where x is the square of any positive integer. The player who is unable to make a move loses. Prove that there are infinitely many initial situations in which the player who goes second has a winning strategy?

Zadanie 3.
Udowodnij, że ciąg 1, 11, 111,... zawiera nieskończony podciąg, którego wyrazy są parami względnie pierwsze.

Prove that the sequence 1, 11, 111,... contains an infinite subsequence whose terms are pairwise relatively prime.

//Jakby ktoś mógł zweryfikować tłumaczenie zadania 2. byłbym bardzo wdzięczny, Tomalla
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2010 - 09:42

Ad.2

Na początku taki mały
Lemat.
Niech m nie jest kwadratem. Jeżeli wiadomo, że dla każdego k takiego, że m-k^2 kamieniami strategię wygrywającą ma gracz pierwszy, to zaczynając grę z m kamieniami strategię wygrywającą ma gracz drugi.

Dowód lematu jest prosty, więc go pominę.

Przejdźmy już do części właściwej. Załóżmy nie wprost, że n jest największą liczbą kamieni, dla której gracz drugi ma strategię wygrywającą. Weźmy sobie jakieś m>n i zacznijmy grę z m^2+n+1 kamieniami. Zauważmy, że k z przedziału m^2+n+1-k^2 kamieniami strategię wygrywającą ma gracz pierwszy. Teraz na mocy lematu wiadomo, że zaczynając z m^2+n+1 kamieniami strategię wygrywającą ma gracz drugi, ale przecież m^2+n+1 \ > \ n. Uzyskana sprzeczność dowodzi prawdziwości tezy.

  • 0