Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadania z teorii liczb - poziom łatwy cz.7


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.07.2010 - 05:47

Zadanie 1
Oblicz sumę największego nieparzystego dzielnika każdej z liczb 2006, 2007,...,4012. (ang. Compute sum of the greatest odd divisor of each of the numbers 2006,2007,...,4012).


Zadanie 2
a) Znajdź liczbę uporządkowanych trójek nww(a,b)=1000, nwww(b,c)=2000, nww(c,a)=2000.

b)Niech\frac{nww\(a,b,c\)^2}{nww\(a,b\)nww\(b,c\),nww\(a,c\)}=\frac{nwd\(a,b,c\)^2}{nwd\(a,b\)nwd\(b,c\),nwd\(a,c\)}.


Zadanie 3
Niech \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}.
Niech h będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb x,y,z. Udowodnij, że hxyz oraz h\(y-x\) są doskonałymi liczbami kwadratowymi (perfect square).
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.07.2010 - 21:47

Zadanie 3.

Najpierw zająłem się rozwiązaniem tego równania. Mamy x,y,z\gt0. Po wymnożeniu obu stron przez xyz otrzymujemy równanie:

z(y-x)=xy

Rozdzieliłem to na dwa przypadki: w pierwszym zakładam, że a+1=c

Wracając do wszystkich podstawień wcześniej ustalamy, że:

k\in\mathbb{N}_+. Teraz wracając do polecenia. Jeżeli x=ad, y=bd i z=cd, przy czym NWD(a,b,c)=1, mamy równanie:

hyxz oraz h(y-x), oczywistym staje się, że oba są kwadratami liczb całkowitych, gdyż \re hxyz=d\cdot d(k-1)\cdot dk(k-1)\cdot dk=\[d^2k(k-1)\]^2 oraz \re h(y-x)=d\[dk(k-1)-d(k-1)\]=\[d(k-1)\]^2, co kończy dowód :)

  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2010 - 09:27


[quote name='Tomalla' post='69591' date='16.07.2010, 22:48']Rozdzieliłem to na dwa przypadki: w pierwszym zakładam, że z pierwsze.
  • 0