Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

sympatyczne równanie diofantyczne


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
11 odpowiedzi w tym temacie

#1 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.07.2010 - 20:28

Rozwiązać w dodatnich całkowitych równanie

3^x-5^y=z^2

;)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.07.2010 - 20:14

Rozwiązać w dodatnich całkowitych równanie 3^x-5^y=z^2:)

hmm ..., ponieważ mają być C_+ i lewa strona musi być kwadratem liczby dodatniej,
to ja ... widzę tylko jedno rozwiązanie \ (x,y,z)=(2,1,2) . ... ;)
  • 0

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.07.2010 - 21:24

Wynik się zgadza, ale dałem to równanie ponieważ jego rozwiązanie można podzielić na pewne części, które stanowią przydatny schemat w rozwiązywaniu równań tego typu, tak więc czekam na propozycje rozwiązań ;)
  • 0

#4 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.07.2010 - 19:48

Ja, jak nie mam pomysłu na rozwiązanie zadania z teorii liczb, zawsze strzelam z resztami kwadratowymi :) Zacząłem od sprawdzenia możliwych reszt kwadratowych modulo 15. Są to 0,1,4,6,9,10.

k.

b) 3^k=0.

Został ostatni pierwszy podpunkt :)

a) k=m=1, ale jak do tego dojść ... ? ;) Wskazówka? :)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#5 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 08:30

Od razu pozwolę sobie skomentować

[quote name='Tomalla' post='69463' date='6.07.2010, 20:49']Ja, jak nie mam pomysłu na rozwiązanie zadania z teorii liczb, zawsze strzelam z resztami kwadratowymi ;) Zacząłem od sprawdzenia możliwych reszt kwadratowych modulo 15. Są to 0,1,4,6,9,10.

1 na drugą stronę. Rozpatrz oddzielnie k=1 i k>1. W tym drugim przypadku liczba 5^{2m-1}+1 musi się przez coś dzielić, a żeby się dzieliła to 2m-1 nie może być dowolną liczbą nieparzystą tylko jakąś. Pokaż że dla takiego 2m-1 prawa strona dzieli się przez pewną liczbę pierwszą > 3. (To będzie oczywiście koniec, bo lewa się nie dzieli).
  • 0

#6 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 16:02

Jak tylko znajdę chwilkę, to może też 'naszkryfuję' rozwiązanie tego równania ;) Chyba że już ktoś od początku do końca napisze co i jak (w sumie już to zostało uczynione przez Tomallę i Ereiniona :) )
  • 0

#7 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 16:03

Daj mi jeszcze szansę ;D Wieczorem spróbuję napisać resztę rozwiązania.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#8 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 16:32

Spokojnie :) Jak już pisałem, troszkę by mi to czasu zajęło, a na razie go nie mam za dużo ;) Poza tym bardzo chętnie zobaczę Twoje rozwiązanie.
  • 0

#9 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 20:39

Prąd wysiadł na chwilę w moim domu więc całe rozwiązanie poszło się dupczyć ;) . Napiszę więc to co napisałem wtedy w telegraficznym skrócie:

Analizując to równanie modulo 3 doszedłem do tego że musi być y=2m-1, kiedy modulo 4 natomiast: x=2k. Nie wpadłem na to żeby analizować to osobno :) Swoją drogą jak na to wpaść? Strzelanie? Czy może jest na to jakiś sposób?

Teraz wracając do równania:

k=1 mamy od razu rozwiązanie m=1, więc (x,y,z)=(2,1,2). Dlatego też załóżmy że k>1. Prawa strona musi się wtedy dzielić przez 9.

m=3n-1 dla n\in Z_+. Teraz rozpatrzyłem to sobie modulo 7:

5^3+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^9+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^{15}+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^{21}+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\

Widać więc że wtedy liczba po prawej stronie jest zawsze podzielna przez 7. W ten sposób zapewne dochodzimy do sprzeczności :)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#10 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 22:35

Nie wpadłem na to żeby analizować to osobno ;) Swoją drogą jak na to wpaść? Strzelanie? Czy może jest na to jakiś sposób?

Nie wiem, sposobu chyba nie ma, ale tutaj jak są liczby 3 i 5 to warto sprawdzić modulo 3 i 5 bo jeden składnik się zawsze wyzeruję, modulo 4 jest też dobre bo 5 do dowolnej potęgi zawsze będzie 1 a 3 będzie albo 1 albo -1, więc sporo się upraszcza.

m=3n-1 dla n\in Z_+.

Takie coś się dość często u Ciebie powtarza, z tego co zauważyłem :) Z powyższych równości jeszcze nic nie wynika, one tylko pomagają zauważyć coś, co potem trzeba formalnie wykazać. W tym wypadku patrząc na te równości mamy podejrzenie, że 5^{2m-1}+1\eq 0\quad\text{  mod 9} \ \Leftrightarrow \ 3|m+1. I to trzeba wykazać. Z reguły w takich sytuacjach jakaś prosta indukcja albo krótki rachunek załatwiają sprawę.

Teraz rozpatrzyłem to sobie modulo 7:

5^3+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^9+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^{15}+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\ <br />5^{21}+1\eq 0\quad\text{  mod 7}\\

Widać więc że wtedy liczba po prawej stronie jest zawsze podzielna przez 7. W ten sposób zapewne dochodzimy do sprzeczności :)

Tutaj to samo co powyżej. Oczywiście na potrzeby forum można takie proste, czysto formalne rzeczy pominąć :) I generalnie tę końcówkę można po prostu ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadanie uważam za rozwiązane :)
  • 0

#11 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.07.2010 - 10:32

5^{2m-1}+1 musi dzielić się przez 9.

m=3n-1 dla 5^{2(3n-1)-1}+1=5^{6n-3}+1=9d ( ufff ... powoli mi zaczyna brakować zmiennych ;) )

Dla n=1 mamy \varphi(9)=6 i NWD(9,5)=1, więc 5^{6n-3}+1=7d ( zmienna jest oczywiście inna niż w poprzednim dowodzie ). Ponownie użyłem indukcji:

Dla n=1 jest 5^{2m-1}+1=6(5^{2m-2}-5^{2m-3}+5^{2m-4}-...-5+1)

Czyli mamy równanie:

3^{k-1}=5^{2m-2}-5^{2m-3}+5^{2m-4}-...-5+1

Prawą stronę można zapisać trochę inaczej:

5^0-5^1+5^2-5^3+...+5^{2m-2}

Gdybyśmy rozpatrzyli to modulo 3:

5^0-5^1+5^2-5^3+...+5^{2m-2}\eq 1-2+1-2+...+1=m-2(m-1)=2-m\qquad\Rightarrow\qquad 2-m\eq 0\quad\text{mod 3}\qquad\Rightarrow\qquad m\eq 2\quad\text{mod 3}\qquad\Rightarrow\qquad m=3n-1

Czyli dochodzimy do tego samego co wcześniej. Drugą część też można ze wzorów skróconego mnożenia jakoś zrobić?
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#12 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.07.2010 - 11:13

[quote name='Tomalla' post='69485' date='8.07.2010, 11:33']5^{2m-1}+1 musi dzielić się przez 9.

m=3n-1 dla 5^{2(3n-1)-1}+1=5^{6n-3}+1=9d ( ufff ... powoli mi zaczyna brakować zmiennych ;) )

Dla n=1 mamy \varphi(9)=6 i NWD(9,5)=1, więc m jakiejś tam postaci mamy podzielność przez 9. Ale nie udowodniłeś że dla pozostałych m nie mamy (co istotnie wpływa na dalszą część rozwiązania). Czyli innymi słowy pokazałeś \Rightarrow , a my musimy pokazać \Leftrightarrow.

[quote]Teraz jeżeli chodzi o modulo 7:

5^{6n-3}+1=7d ( zmienna jest oczywiście inna niż w poprzednim dowodzie ). Ponownie użyłem indukcji:

Dla n=1 jest 1 z poprzedniej mojej wstawki :)

[quote]Jeżeli chodzi natomiast o te wzory skróconego mnożenia:

5^{2m-1}+1=6(5^{2m-2}-5^{2m-3}+5^{2m-4}-...-5+1)

Czyli mamy równanie:

3^{k-1}=5^{2m-2}-5^{2m-3}+5^{2m-4}-...-5+1

Prawą stronę można zapisać trochę inaczej:

5^0-5^1+5^2-5^3+...+5^{2m-2}

Gdybyśmy rozpatrzyli to modulo 3:

7. Można tak: 5^{6n-3}+1=\(5^{3}\)^{2n-1} + 1^{2n-1}=(5^3+1)\cdot ( \mbox{costam calkowitego})=7 \cdot 18 \cdot ( \mbox{costam calkowitego}). Oczywiście zapis jest nieformalny :)
  • 0