Skocz do zawartości


Zdjęcie

Zbadaj monotoniczność ciągu i ograniczenia


Ten temat został zarchiwizowany. Nie można odpowiadać w tym temacie.
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 ryspop

ryspop

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 18 postów
0
Neutralny

Napisano 21.06.2010 - 21:29

Sprawdzić czy ten ciąg jest monotoniczny i czy jest ograniczony?

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{sqrt(n^2+4n)-sqrt(n^2-3)}

Coś podejrzewam, że należy wykorzystać jakieś twierdzenie, ale przykład trochę złożony.

Sprawdzić czy ten ciąg jest monotoniczny i czy jest ograniczony?

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{sqrt(n^2+4n)-sqrt(n^2-3)}

Coś podejrzewam, że należy wykorzystać jakieś twierdzenie, ale przykład trochę złożony.



Mam pytanie do użytkowników - jak mniej więcej podejść do tematu? Czy zdanie jest tak trudne czy tak łatwe, że nikt nie chce pomóc? jakie wykorzystać twierdzenie? jak to zadanko ugryźć i temu podobne?

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 lost

lost

    Lukemeister

  • $Jr Admin
  • 1622 postów
655
Wykładowca I

Napisano 21.06.2010 - 22:02

\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+4n}-\sqrt{n^2-3}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}-\sqrt{n^2-3}}\cdot \frac{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}{4n+3}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}}{4+\frac{3}{n}}=\frac{1+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

#3 ryspop

ryspop

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 18 postów
0
Neutralny

Napisano 21.06.2010 - 22:18

\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+4n}-\sqrt{n^2-3}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}-\sqrt{n^2-3}}\cdot \frac{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^2+4n}+\sqrt{n^2-3}}{4n+3}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}}{4+\frac{3}{n}}=\frac{1+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}


Pytanie dodatkowe - jak ma się granica do monotoniczności? z tego co pamiętam, należy odjąć ciąg an+1 - an i badać znak. Czy może się mylę?
No i czy ciąg jest w jakiś sposób ograniczony?

#4 lost

lost

    Lukemeister

  • $Jr Admin
  • 1622 postów
655
Wykładowca I

Napisano 22.06.2010 - 06:05

Tak trzeba zrobić :)

#5 sanssouci

sanssouci

    Jr Admin :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5835 postów
1480
Starszy Wykładowca I

Napisano 22.06.2010 - 06:17

tylko czy koniecznie musisz badać te dwa fakty? z tego fakty niekiedy się korzysta badając zbieżność ciągu, ale po co aż tak się wysilać, jak policzenie granicy ukazuje nam, ze tak jest :)

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#6 ryspop

ryspop

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 18 postów
0
Neutralny

Napisano 22.06.2010 - 07:20

No ale na egzaminie mam wyliczyć tylko granicę ciągu i co dalej? Tak zostawić - dostane mniej punktów. Pewnie trzeba coś jeszcze policzyć lub na podstawie granicy coś napisać, że ciąg np. ograniczony z dołu do 0,5. Bo skoro dąży to 0.5 to chyba jest ograniczony w tym punkcie? Czytam ale te regułki jakoś do mnie nie trafiają.

Może inaczej zadam pytanie: Czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony? Jeżeli tak to z czego to wynika?

#7 sanssouci

sanssouci

    Jr Admin :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5835 postów
1480
Starszy Wykładowca I

Napisano 22.06.2010 - 14:15

z tego, ze ciag jest zbieżny nie wynika jego monotoniczność (istnieją ciągi zbieżne, ale nie monotoniczne), ograniczoność ciągu już wynika z faktu zbieżności (Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony)

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ







Partnerem technologicznym jest dhosting.pl      Współpracują z nami     PortalMatematyczny.pl