Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zbieżność szeregu potęgowego


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.05.2010 - 17:20

Znajdź szereg zbieżności szeregu:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(z+1-i)^n}{3^nn^2}

\lambda=\sqrt[n]{|\frac{1}{3n^2}|}==\frac{1}{3}, czyli promień zbieżności wynosi:

R=\frac{1}{\lambda}=3, czyli szereg jest zbieżny w kole o środku z_o=-1+i i promieniu R=3.

Mam teraz następujące pytanie. Jak określić zbieżność na okręgu R=3? Niestety nie było o tym mowy na wykładzie, aczkolwiek padło stwierdzenie, że można to zrobić... Proszę, o dokładne wyjaśnienie czynności, jakie należy wykonać, aby takową zbieżność wykazać :iiam:
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Gość_miodzio1988_*

Gość_miodzio1988_*
  • Gość

Napisano 13.05.2010 - 20:25

A pamietasz jak się badało zbiezność na krancach, gdy miales liczby rzeczywiste tylko? No to tutaj podobnie. Do zbadania masz szereg:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 }{ n^2}
(czemu taki?). I to wszystko tak naprawdę :iiam:
  • 0

#3 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.05.2010 - 20:36

Wykładowca mówił, że ze zespolonymi jest inaczej i niby trudno jest określić, co się dzieje na końcach. Dlaczego? Ponieważ tutaj mamy okrąg, a punktów nań tworzących jest nieskończoność.

Zaś przy zwykłym szeregu otrzymywaliśmy dwa przypadki:
a) szereg naprzemienny (kryterium Leibnitza)
b) szereg o wyrazach dodatnich.

Chciałem dowiedzieć się ogólnej zasady, jak określać w takim przypadku zbieżność na krańcach... :)

PS Skąd wytrzasnąłeś ten szereg? :iiam:
  • 0

#4 Gość_miodzio1988_*

Gość_miodzio1988_*
  • Gość

Napisano 14.05.2010 - 01:22

Wykładowca mówił, że ze zespolonymi jest inaczej i niby trudno jest określić, co się dzieje na końcach.

Koncach czego? Nie mamy przedziału przecież.

(czemu taki?)


No to po to zadałem to pytanie. Chwilę myslimy....(podpowiem , że to od razu widać). Nie wiem jaką tam teorie otrzymaliście na wykładzie, ale metoda jest (przy szeregach o tak ładnej postaci) zawsze taka sama. Dziwię się, że nie została podana u was na wykladzie.

Zaś przy zwykłym szeregu otrzymywaliśmy dwa przypadki:
a) szereg naprzemienny (kryterium Leibnitza)
b) szereg o wyrazach dodatnich.


a) Nie zawsze używać można kryterium Leibniza więc nie wiem po co informacja o tym kryterium w tej sprawie
  • 0

#5 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.05.2010 - 10:13

Koncach czego? Nie mamy przedziału przecież.


Poprawiam na okręgu :iiam:

Teraz odnośnie czemu \sum\frac{1}{n^2}?

Otóż wg mnie dlatego, że gdy |z|=3 z szeregu \sum\frac{3^n}{3^nn^2}=\sum\frac{1}{n^2}. Czy postępujemy wg takiego schematu z każdym szeregiem zespolonym potęgowym?

Dziwię się, że nie została podana u was na wykladzie.


Co do wykładów, to sam mam zastrzeżenia. Mogły by być lepiej prowadzone. Wiele elementów jest tylko "liźniętych" i idziemy dalej "bo nie ma na [temat/pojęcia] to czasu".

PS Szereg \sum\frac{1}{n^2} jest zbieżny (jest jednym szeregiem Drichleta dla \alpha=2)
  • 0

#6 Gość_miodzio1988_*

Gość_miodzio1988_*
  • Gość

Napisano 14.05.2010 - 11:41

Mowiłem, że sam na to wpadniesz :iiam:
Wszystko jest ok.

Czy postępujemy wg takiego schematu z każdym szeregiem zespolonym potęgowym?


No właśnie czasami się tak nie da. Spotkasz się z takimi szeregami pewnie kiedyś. Jak na nie trafisz to będę na forum i Ci pomogę. (wtedy juz takiego ogolnego schematu nie ma)
  • 0





Tematy podobne do: Zbieżność szeregu potęgowego     x