Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

dla jakich wartości k...?


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
14 odpowiedzi w tym temacie

#1 noway332

noway332

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 49 postów
0
Neutralny

Napisano 20.03.2008 - 23:15

Dla jakich wartości k układ równań

\{ (x+3)^2 + (y-2)^2 = 2\\  (y-x-3)(y+x-k)=0\\

ma tylko jedno rozwiązanie?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 14:09

[quote name='noway332']Dla jakich wartości k układ równań: S=(-3,2) i promieniu r=\sqrt2 dwie proste, a więc: \Leftrightarrow \Leftrightarrow\  \{\ y=x+3\\  (x+2)^2=0\ \ lub\  \{\ 2x^2+2(5-k)x+k^2-4k+11=0\\ \color{red}\Delta= 4(5-k)^2-4\cdot 2\cdot (k^2-4k+11)<0\ /:4\ \  \Leftrightarrow\ \ \{x=-2\\ y=-2+3\ \ lub\ \ 25-10k+k^2-2k^2+8k-22<0\  \Leftrightarrow\

\Leftrightarrow \color{red}\{x=-2\\ y=1\ \ lub\ \color{red} -k^2-2k+3<0\ /\cdot (-1)\ \Rightarrow\ k^2+2k+1-4>0\ \Rightarrow\ (k+1)^2-4>0\ \Rightarrow (k+1)^2>4\ \Rightarrow\ |k+1|>2\ \Rightarrow\

k+1<-2\ lub\ k+1>2\  \Rightarrow\ \color{red} k<-3\ lub\ k>1\  \Rightarrow\ \color{red}k\in(-\infty;\ -3)\ \cup\ (1;\ +\infty)\ .

Odp. Dany układ ma jedno i tylko jedno rozwiązanie (x,y)=(-2,1)  , wtedy i tylko wtedy, gdy \color{red}k\in(-\infty;\ -3)\ \cup\ (1;\ +\infty)\

--------------------------------------------------
przepraszam za to zamieszanie, ale jeden głupi błąd (dziękuję wam ... poniżej :D ) i zaplątałem się szpetnie :oops: w interpretacji moich rozważań . ... :( :roll: . ... 8)
  • 0

#3 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 14:37

Ja w tym zadaniu, poszedł bym trochę bardziej na łatwiznę i zrobiłbym coś takiego:

\Delta=0 ,tzn że równanie to ma jedno rozwiązanie, bez względu na parametr 'k'. Rozwiązaniem tym jest punkt: (-2 ; 1).
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 15:44

masz rację timon-ie, ty już wiesz i łatwo ci tak powiedzieć: z pierwszego układu tak wynika, bo nie zależy od k i akurat istnieje punkt styczności tej prostej z okręgiem , ..., ale masz
w alternatywie drugi układ i musiałem sprawdzić czy nie ma drugiego rozwiązania, czyli czy istnieje punkt styczności tej drugiej prostej z okręgiem, czy mam rację :( :? ... pozdrawiam . ... 8)

a propo,nie wolno ci było sobie ot tak dzielić drugiego równania przez y+x-k , nie wiedząc przecież, czy nie dzielisz przez ... zero :!:
  • 0

#5 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 17:15

Masz rację mówiąc, że rzeczywiście nie moglem tego podzielić, i z tego wynika, że rzeczywiście muszę rozważyć drugie (alternatywne) równanie, więc rozważam:

\{\ (x+3)^2 + (y-2)^2 = 2\\ \ y+x-k=0

\{\ (x+3)^2 + (y-2)^2 = 2\\ \ y=-x+k

(x+3)^2 + (k-x-2)^2 = 2\\x^2+6x+9+k^2+2k(-x-2)+(-x-2)^2-2=0\\<br />\\x^2+6x+9+k^2-2kx-4k+x^2+4x+4-2=0\\2x^2+x(6+4-2k)+k^2-4k+11=0\\<br />\\\Delta=0\\ \Delta=100-40k+4k^2-4*2(k^2-4k+11)=0\\<br />\\100-40k+4k^2-8k^2+32k-88=0\\-4k^2-8k+12=0/:-4\\k^2+2k-3=0\\<br />\\\Delta=16\\k_1={{-2-4}\over{2}}=-3\\k_2=1

Zakładając, że się nie pomyliłem, to z pierwszego równania wynika, że aby równanie miało jedno rozwiązanie nie ma żadnego warunku co do 'k'. Z drugiego równania wynika jednak,że k musi się równać: -3 lub 1. W tym momencie, nie wiem jak interpretować taki wynik, podejrzewam, że trzeba wziąć część wspólną pierwszego i drugiego założenia:

\{x\epsilon R\\x=-3\;lub\;x=1
Czyli rozwiązaniem były by liczby:-3 i 1. Ale tak do końca to nie wiem..jakieś sugestie??
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"

#6 tala12

tala12

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 21.03.2008 - 18:59

Jest mały problem. Podstawilam za k=-3 i obliczyłam, co wyjdzie, no i wyszły mi dwa rozwiązania (-2,1) lub (-4, 1).
  • 0

#7 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 19:56

Jest mały problem. Podstawilam za k=-3 i obliczyłam, co wyjdzie, no i wyszły mi dwa rozwiązania (-2,1) lub (-4, 1).

masz rację i ja to właśnie wykazałem, tylko moja interpretacja tego była zła :? , ale teraz zmieniłem ją i zajrzyj powyżej, jest tak jak powinno. ... 8)
  • 0

#8 tala12

tala12

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 21.03.2008 - 19:59

k musi być odpowiednio przesunięte w górę i w dół.
A no tak i współczynnik k<3>1
Ch... jasna nie moge napisac k<3>1 Co jest?????
k mniejsze od -3 i k większe od 1 (może ktoś to poprawić)

[ Dodano: 21 Mar 2008, 20:03:14 ]
to ja już zgłupiałam
  • 0

#9 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 20:10

musi przecinać właśnie to wykazałem, tylko żle ten fakt zinterpretowałem; musi ta druga prosta perzecinać i to w 1 lub 2 punktach ...
zajrzyj na moje poprawione wnioski talo :(, ale dziękuje bo to ty ... zmusiłaś mnie abym przysiadł do tego ... i dlatego masz u mnie plusa :D . ... 8)
  • 0

#10 tala12

tala12

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 21.03.2008 - 20:19

A sprawdź jeszcze raz moje rozważanie, weź np k=2
Z pierwszym równaniem wychodzi jedno rozwiązanie a z drugim nie ma, czyli jest jedno rozwiązanie.

[ Dodano: 21 Mar 2008, 20:47:11 ]
Wiem gdzie masz błąd. Przed delta "K" (czerwoną) jest 4x i -4k a ty to zredukowałeś
  • 0

#11 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 20:48

Jest mały problem. Podstawilam za k=-3 i obliczyłam, co wyjdzie, no i wyszły mi dwa rozwiązania (-2,1) lub (-4, 1).

kurcze uwierzyłem ci :!: :!: :!: , ale przecież dla k=-3 nie ma żadnego (-4,1) :?: , czyli miałem dobrze, sprawdż to twoje (-4,1) dla k=-3 ??????
  • 0

#12 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 21:01

Tadpod zechciej jednak mimo wszystko jeszcze raz spojrzeć na jedno ze swoich przejść:

2x^2+(6-2k)x+k^2+11=0

Tutaj jest przecież błąd, zgubiłeś -4k, a do nawiasu nie dodałeś 4 (zobacz w moim rozwiązaniu). Chyba przez pomyłkę skróciłeś 4x z -4k. Wtedy wynik wychodzi inny. Szczerze mówiąc nie rozumiem w ogóle jak należy interpretować wyniki w takim zadaniu. Jak możesz to spróbuj jeszcze raz prześledzić podstawienie równania drugiej prostej do równania okręgu, może do czegoś w końcu dojdziemy.
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"

#13 tala12

tala12

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 21.03.2008 - 21:12

Jest mały problem. Podstawilam za k=-3 i obliczyłam, co wyjdzie, no i wyszły mi dwa rozwiązania (-2,1) lub (-4, 1).

kurcze uwierzyłem ci :!: :!: :!: , ale przecież dla k=-3 nie ma żadnego (-4,1) :?: , czyli miałem dobrze, sprawdż to twoje (-4,1) dla k=-3 ??????

No to podstawiam -3 za k, mamy
\{(x+3)^2+(y-2)^2=2\\(Y-X-3)(Y+X-(-3))=0
Drugie równanie mnożę każdy przez każdy
\{(x+3)^2+(y-2)^2=2\\y^2+xy+3y-xy-x^2-3x-3y-3x-9=0 redukcja wyrażeń podobnych
\{(x+3)^2+(y-2)^2=2\\y^2-(x+3)^2=0 podkreślamy i dodajemy z góry na dół
(y-2)^2+y^2=2\\y^2-4y+4+y^2=2\\2y^2-4y+2=0\\(y-1)^2=0\\y=1
POdstawiam do okręgu za y=1
\Delta_k_<0 żeby nie było drugiego rozwiązania
po obliczeniu delta K mamy

[ Dodano: 21 Mar 2008, 21:25:33 ]
nie mogę pisać!!

[ Dodano: 21 Mar 2008, 21:32:21 ]
sqrt\Delta=4\\ k_1=\frac{-2-4}{2}=-3\ lub k_2=\frac{-2+4}{2}=1
Parabola gałęzie do góry i mamy k<\ -\3 i k większe od 1
  • 0

#14 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2008 - 21:37

Dziękuję wszystkim, którzy się przyczynili do ... :D :( Uffffffffffffffffff. ... 8)
  • 0

#15 tala12

tala12

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 21.03.2008 - 21:43

Ale twierdze, że \Delta_k ma być mniejsza od 0
  • 0