Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

calka z funkcja trygonometryczna, ortogonalnosc


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
14 odpowiedzi w tym temacie

#1 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 13:50

potrzebuje wytlumaczenia i przeanalizowania przykladu

 \int_{-a}^{a}[2cos(\frac{\pi x}{2a})-sin(\frac{\pi x}{a})]^2

rozpisujac dostajemy

 \int_{-a}^{a}[4cos^2(\frac{\pi x}{2a})-2cos(\frac{\pi x}{2a})sin(\frac{\pi x}{a})+sin^2(\frac{\pi x}{a})]dx

zamiana granicy t= \frac{\pi x}{2a}
 dt=\frac{\pi}{2a}dx
 a= \frac{\pi}{2}

1) 4\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^^2(\frac{\pi x}{2a})dx=4\cdot\frac{2a}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^2t=4\cdot\frac{2a}{\pi}[\frac{1}{2}t-\frac{sin2t}{4}] podstawiajac odpowiednie granice (czesc z sinusem = 0) wiec zostanie tylko  \pi

wiec pierwsza calka da 8a
na zajeciach prowadzacy powiedzial nam ze ze wzgledu na ortogonalnosc calka z 2cos(\frac{\pi x}{2a})sin(\frac{\pi x}{a}) da zero......dlaczego? czy mozna ja jakos latwo obliczyc?

ile da ostatnia calka? czy ktos moze mi pomoc w obliczeniu?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 14:07

Jeżeli chodzi o ten kawałek z całką z cos^2x, zamień go na cos2x z tożsamości trygonometrycznych.
cos2x=2cos^2x-1
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#3 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 14:13

taki argument ma rece i nogi:)

czy mozesz zerknac jeszcze na rozwiazanie tej pierwszej calki?

przeciez zmienilem granice calkowania w pierwszej calce zaraz jak zrobilem podstawienie

czy trzecia calka wobec tego tez da 0?
  • 0

#4 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 14:17

Dopisalem edit w poprzednim poście odnośnie tamtej całki. A trzecia całka nie powinna zniknąć, bo tam jest kwadrat, czyli z funkcji nieparzystej robi parzystą. Ale sin^2x też możesz zamienić na cos2x.
cos2x=1-2sin^2x
I wycałkuje się już po ludzku.
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#5 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 14:28

Dopisalem edit w poprzednim poście odnośnie tamtej całki. A trzecia całka nie powinna zniknąć, bo tam jest kwadrat, czyli z funkcji nieparzystej robi parzystą. Ale sin^2x też możesz zamienić na cos2x.
cos2x=1-2sin^2x
I wycałkuje się już po ludzku.


tylko, ze tam jest  sin^22t

gdyby tak podstawic u= 2t  sin^2u= \frac{1-cos2u}{2}
wiec z tego dostane  \frac{1}{2}u -\frac{sin2u}{4}
wracajac do starej zmiennej
 t-\frac{sin4t}{4} hm......
  • 0

#6 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 15:13

To teraz już się pogubiłem. Po pierwsze, według tego wzoru trzeba było tylko podstawić za cos^2t. Potem trzeba to jeszcze wycałkować.
Po drugie. Jak podstawiłeś t, granice całkowania na całce zostały stare.
Po trzecie, jeśli stresuje Cię "2t", to podstaw u=2t ;) Albo licz trzecią całkę osobno i zamiast podstawienia cos2x=1-2sin^2x
2sin^2x=1-cos2x
sin^2(2x)=\frac12-cos(4x)
\int sin^2(2t)dt=\int \left(\frac12-cos(4t)\right)dt=\frac{t}2 - \frac14sin(4t) + C
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#7 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 15:16

To teraz już się pogubiłem. Po pierwsze, według tego wzoru trzeba było tylko podstawić za cos^2t. Potem trzeba to jeszcze wycałkować.
Po drugie. Jak podstawiłeś t, granice całkowania na całce zostały stare.
Po trzecie, jeśli stresuje Cię "2t", to podstaw u=2t :) Albo licz trzecią całkę osobno i zamiast podstawienia t=\frac{\pi x}{2a} zrób w tym kawałku od razu podstawienie t=\frac{\pi x}a


....hm ja juz tez sie troche w tym pogubilem ;)
wiec zaczynam liczyc od poczatku i jesli bedziesz mial chwile prosze zerknij na te moje obliczenia:)
  • 0

#8 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 15:21

Ok, za 20 minut obejrzę kolejny odcinek, to zerknę. A powyżej wyprowadzona całka dla sinusa. Analogicznie dla cosinusa się wyliczy (oczywiście wyjdzie nieco inaczej ;))
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#9 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 15:49

....hm ja juz tez sie troche w tym pogubilem ;)
wiec zaczynam liczyc od poczatku i jesli bedziesz mial chwile prosze zerknij na te moje obliczenia:)


calka 1)

 \int_{-a}^{a}4cos^2(\frac{\pi x}{2a})dx
przeprowadzam zamiane zmiennych i zamiane granic calkowania, czyli
 t= \frac{\pi x}{2a}
 dt=\frac{\pi}{2a}dx
a granice odpowiednio  \frac{\pi}{2} oraz  -\frac{\pi}{2}

nowa calka po zamianie zmiennych i granic powinna wygladac tak

 \frac{8a}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^2tdt= \frac{8a}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2t}{2}dt=\frac{8a}{\pi}[\frac{1}{2}t+\frac{sin2t}{4}] czy do tej pory jest dobrze?
i teraz musze wrocic to starej zmiennej t i podstawic odpowiednie granice?
  • 0

#10 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 16:07

Nie musisz wracać. Po ty wyliczone były nowe granice całkowania, żeby je teraz po prostu podstawić ;)

A wzorki są dobrze.

Czyli trzeba już tylko policzyć w tych granicach i koniec tego kawałka:

\frac{8a}{\pi}\left[\frac{1}{2}t+\frac{sin2t}{4}\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#11 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 17:44

Nie musisz wracać. Po ty wyliczone były nowe granice całkowania, żeby je teraz po prostu podstawić ;)

A wzorki są dobrze.

Czyli trzeba już tylko policzyć w tych granicach i koniec tego kawałka:

\frac{8a}{\pi}\left[\frac{1}{2}t+\frac{sin2t}{4}\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}


okey
wiec z pierwszej wychodzi mi 4a:)

druga calka (ta srodkowa) zgodnie z tym co powiedziales bedzie 0
wiec zostaje trzecia
za sekudne ja policze:)
  • 0

#12 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 17:59

Funkcję pierwotną dla całki z sinusa napisałem gdzieś tam wyżej. Powinna być ok.
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#13 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 19:16

Funkcję pierwotną dla całki z sinusa napisałem gdzieś tam wyżej. Powinna być ok.


z drugiej wychodzi tez 4a.....i tutaj pojawia sie problem bo po zsumowaniu tych dwoch calek wychodzi 8a a naszemu prowadzacemu cwiczenia wyszlo 5a.....
mi sie wydaje, ze nie powinno byc juz bledu w tych obliczeniach......
  • 0

#14 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2010 - 20:18

Cóż. Właśnie policzyłem przykład dla a=1.
x=[-1:0.01:1];
w=(2*cos(pi*x/2)-sin(pi*x)).^2;
sum(w)*(2/200);

Dostałem odpowiedź
ans=5.0000

Więc przejrzyj dokładnie obliczenia ;)

Pierwsza całka powinna się całkować do 4:
y=(2*cos(pi*x/2)).^2;
sum(y)*(2/200)
ans = 4.0000

Druga do 1:
z=(sin(pi*x)).^2;
 sum(z)*(2/200)
ans = 1.0000

Więc błędu szukaj w tej z ostatniej.

I odmeldowuję się spać, bo 6 rano...
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#15 rayman

rayman

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 185 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.04.2010 - 07:48

Funkcję pierwotną dla całki z sinusa napisałem gdzieś tam wyżej. Powinna być ok.


juz znalazlem blad.....
pierwsza calka da
\frac{2a}{\pi}[4\cdot\frac{\pi}{2}] = 4a
a druga da  \frac{2a}{\pi}[\frac{\pi}{2}]=a
czyli ostatecznie 5a:)
Dziekuje Ci za pomoc i cierpliwosc przede wszystkim!;)
Pozdrawiam
  • 0