Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 _Mithrandir

_Mithrandir

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 40 postów
0
Neutralny

Napisano 24.04.2010 - 15:25

Dzisiaj na ćwiczeniach mieliśmy wyznaczyć ekstrema funkcji określonej wzorem f(x,y,z)=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}, x,y,z>0.

Otrzymaliśmy takie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

x=y=z, co sugeruje, żeby o istnienie ekstremów podejrzewać wszystkie punkty postaci (x,x,x), x>0.

Pochodne drugiego rzędu w dowolnym punkcie (x,x,x), x>0 wyszły takie:

v_1=(1,1,1), v_2=(-1,0,1), v_3=(-1,1,0).

Widać, że v_1 opisuje kierunek półprostej, na której leżą punkty (x,x,x). Dla tych punktów funkcja jest stała: f(x,x,x)=\frac{3x^3}{x^3}=3.

Z tego, co widzę, v_2 i v_3 opisują kierunki prostopadłe do v_1, co wynika z zerowania się iloczynu skalarnego. Mam nadzieję, że się zgadza.

Prowadzący powiedział, że w kierunkach v_2 i v_3 wartości funkcji rosną. Skąd to wiadomo? Bo potem już prosty wniosek, że "najniżej" położone punkty to punkty (x,x,x), skąd ekstremum niewłaściwe to 3. Ale skąd wiadomo, że wartości w tamtych kierunkach rosną?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.04.2010 - 15:47

Bo pozostałe wartości własne są dodatnie. Więc jak zlikwidujemy ten jeden wymiar, względem którego nic się nie dzieje, to mamy hesjan dodatnio określony.
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.04.2010 - 16:06

To ja tradycyjnie bez pochodnych zaproponuję ;)

Mamy dla x,y,z dodatnich

x=y=z.

Natomiast górne ograniczanie nie istnieje, co można pokazać biorąc f(x,y,z)=1+y^3+\frac{1}{y^3} a to oczywiście może być dowolnie duże.
  • 0

#4 _Mithrandir

_Mithrandir

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 40 postów
0
Neutralny

Napisano 24.04.2010 - 19:26

Bo pozostałe wartości własne są dodatnie. Więc jak zlikwidujemy ten jeden wymiar, względem którego nic się nie dzieje, to mamy hesjan dodatnio określony.


Czyli znak wartości własnej mówi o wzrastaniu funkcji w kierunku wektora własnego odpowiadającego tej wartości? Gdyby pewna wartość własna była ujemna, to w kierunku określanym przez wektor własny odpowiadający tej wartości funkcja by malała? A przy wartościach własnych zerowych jest stała?

To ja tradycyjnie bez pochodnych zaproponuję ;)

Mamy dla x,y,z dodatnich

x=y=z.

Natomiast górne ograniczanie nie istnieje, co można pokazać biorąc f(x,y,z)=1+y^3+\frac{1}{y^3} a to oczywiście może być dowolnie duże.


Można też skorzystać z nierówności średnich.
  • 0

#5 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.04.2010 - 20:50

Nie biorę pełnej odpowiedzialności za tego posta, bo jest u mnie piąta rano, ale widzę to tak (taką mam w tym właśnie momencie intuicję, może być błędna - nigdy wcześniej się nad tym nie zastanawiałem).

Sytuacja z liczeniem gradientu i hesjanu to jak rozwijanie funkcji w szereg Taylora. Tyle, że teraz rolę kolejnych pochodnych pełnią gradient i hesjan. Gdy weźmiesz gradient i hesjan i odrzucisz dalsze pochodne to tak jakbyś przybliżał funkcję różniczkowalną w otoczeniu danego punktu formą kwadratową. Wartości własne hesjanu mówią Ci, jak zachowuje się ta forma z kwadratem odległości od punktu w kierunku poszczególnych wektorów własnych (w obie strony, bo odległość bierzesz z kwadratem, więc minus znika). Więc jeśli wszystkie wartości własne hesjanu są dodatnie, a gradient był zerowy, to powinno tu być minimum. Bo pierwsza składowa to płaszczyzna - przy gradiencie zerowym - pozioma. Druga składowa to hmm chyba to się nazywa paraboloida (w każdym razie powierzchnia kwadratowa stopnia drugiego) - o ramionach skierowanych w górę względem tych kierunków, w których wartości własne są dodatnie.

Fakt, że w tym przypadku jedna z wartości własnych była równa zero, ale to dlatego, że w kierunku (1,1,1) nic się nie dzieje. Można go swobodne wyrzucić z tej przestrzeni (bo oznacza on tylko tyle, że jest tu "rów") i popatrzeć na dziedzinę dwuwymiarowo (oczywiście każdemu punktowi odpowiada prosta) i wtedy gradient nadal jest zerowy, a wartości własne wszystkie dodatnie.


Ok, po wyłączeniu komputera przemyślałem sprawę i postanowiłem dopisać.

Popatrz na to tak, w przestrzeni rozpiętych na bazie wektorów własnych hesjan na głównej przekątnej ma wartości własne, poza tym jest zerowy, to sprawia że tworzy się z tej składowej coś takiej postaci:
\left[<br />\\\begin{array}{c}<br />\\x_1\lambda_1x_1\\<br />\\x_2\lambda_2x_2\\<br />\\\dots\\<br />\\x_k\lambda_1x_k<br />\\\end{array}<br />\\\right]<br />\\

Tu wyraźnie widać jak to się zachowuje. Więc jeśli dana wartość własna jest dodatnia, to w tym kierunku mamy jako składową parabolę skierowaną w górę, jeśli ujemna - w dół. Jeśli zero.... cóż, trzeba badać pochodne wyższych rzędów. W analizowanym przez nas przypadku nie trzeba było tego robić, bo łatwo było pokazać analitycznie, że w jednym z kierunków funkcja jest po prostu stała.

Ale teraz to już naprawdę się odmeldowuję. Dobranoc.
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#6 _Mithrandir

_Mithrandir

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 40 postów
0
Neutralny

Napisano 18.05.2010 - 14:47

Dziękuję za pomoc. Przepraszam, że dopiero teraz - namnożyło się trochę zaległych obowiązków i z tego wszystkiego zapomniałem o tym problemie.
  • 0