Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

wykazac nierówność


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5953 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.03.2008 - 10:34

Wykazac nierówność:
 \frac{1}{2}(x^n+y^n)>(\frac{x+y}{2})^n
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Posted Image mówisz DZIĘKUJĘ


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.03.2008 - 15:01

[quote name='niki87']Wykazac nierówność:
n=1
Wtedy dostajemy:
\frac{x+y}2>\frac{x+y}2
Sprzeczność.
  • 0
Używam opcji "Zobacz posty od ostatniej wizyty", gdzie widzę dział oraz TEMAT. Temat postaci "help zadanie" zignoruję, ale koło tematu "Izomorfizm/dowód" nie przejdę obojętnie.
Wyłącznie od Ciebie zależy, czy zainteresuje mnie Twoje zadanie

#3 antynomia

antynomia

    Operator całkujący

  • VIP
  • 313 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.04.2008 - 00:52

Powinno być \geq i chyba nie dla każdego n tylko dla parzystych. Wówczas funkcja t^n jest wypukła (zob. http://pl.wikipedia....ukłość_funkcji) i ta nierówność jest natychmiastowa.
  • 0
:arrow: regulamin
:arrow: poradnik MimeTeX-a
:arrow: Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.04.2008 - 09:29

Wykazac nierówność:  \frac{1}{2}(x^n+y^n)>(\frac{x+y}{2})^n

otóż, tak, moim zdaniem powinien być znak \color{red}\ \geq\ oraz \ a>0,\ b>0,\ n\geq1\ , a wtedy dowód może wyglądać np. tak:

\ \frac{1}{2}(x^n+y^n) \geq (\frac{x+y}{2})^n\ \Leftrightarrow \color{red}\ (\frac{x+y}{2})^n \leq \frac{1}{2}(x^n+y^n)\ , teraz rozpatrzę funkcje pomocniczą zmiennej x postaci: \color{red}\ f(x)= (\frac{x+a}{2})^n  - \  \frac{1}{2}(x^n+a^n) , gdzie

\color{red}\ y=a =const\  i \ 0<x<a\ \in OX , teraz rózniczkując po x (nie musiałem wprowadzać stałej a ... , ale to wydawało mi się dobre :D ) otrzymuję

 \ f'(x)= \frac{1}{2}n(\frac{x+a}{2})^{n-1}-\frac{1}{2}nx^{n-1}= \frac{1}{2}n((\frac{x+a}{2})^{n-1}-x^{n-1})\ dalej,

ponieważ \color{red}\ x<a \ \Rightarrow\  x+a<2a\ \Rightarrow\ \frac{x+a}{2}<a\  , więc \color{blue}\ f'(x)>0\ , stąd f jest rosnąca, czyli \ f(x)\color{red}<f(a)\  \Leftrightarrow \ \ f(x)< (\frac{a+a}{2})^n  - \  \frac{1}{2}(a^n+a^n)=a^n-a^n=0\

a więc \color{red}\ f(x)< 0\  \Leftrightarrow \  (\frac{x+a}{2})^n  - \  \frac{1}{2}(x^n+a^n)<0\ \ \Rightarrow\  \color{red}(\frac{x+a}{2})^n< \frac{1}{2}(x^n+a^n)\ \Leftrightarrow  \ \frac{1}{2}(x^n+a^n)>(\frac{x+a}{2})^n   \Rightarrow \color{red}\ \frac{1}{2}(x^n+y^n)\geq (\frac{x+y}{2})^n  ,

przy czym równość zachodzi dla n=1. ... 8)
  • 0





Tematy podobne do: wykazac nierówność     x